Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Paso 1.1.2.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Paso 1.1.2.3

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Paso 1.1.2.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 10$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.2.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 10$ para $x$ .

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Paso 1.1.2.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 10$ para $x$ .

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Paso 1.1.2.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.5.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$\frac{100 + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Paso 1.1.2.5.1.2

Multiplica $10$ por $- 10$ .

$\frac{100 - 100}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Paso 1.1.2.5.2

Resta $100$ de $100$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} x^{2} + 100 \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Paso 1.1.3.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa el límite de $100$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Paso 1.1.3.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10)}$

Paso 1.1.3.6

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

Paso 1.1.3.7

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 10$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.7.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 10$ para $x$ .

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

Paso 1.1.3.7.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 10$ para $x$ .

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

Paso 1.1.3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.8.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{(100 + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

Paso 1.1.3.8.2

Suma $100$ y $100$ .

$\frac{0}{200 \cdot (- 10 + 10)}$

Paso 1.1.3.8.3

Suma $- 10$ y $10$ .

$\frac{0}{200 \cdot 0}$

Paso 1.1.3.8.4

Multiplica $200$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.8.5

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.9

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)} = lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 10 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} + 100$ y $g (x) = x + 10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Paso 1.3.8

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Paso 1.3.10

Multiplica $x^{2} + 100$ por $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Paso 1.3.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 100$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100])}$

Paso 1.3.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [100])}$

Paso 1.3.13

Como $100$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $100$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + 0)}$

Paso 1.3.14

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x)}$

Paso 1.3.15

Mueve $2$ a la izquierda de $x + 10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 \cdot (x + 10) x}$

Paso 1.3.16

Simplifica.

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Paso 1.3.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (2 x + 2 \cdot 10) x}$

Paso 1.3.16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x \cdot x + 2 \cdot 10 x}$

Paso 1.3.16.3

Combina los términos.

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Paso 1.3.16.3.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 10 x}$

Paso 1.3.16.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 10 x}$

Paso 1.3.16.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 10 x}$

Paso 1.3.16.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 2 \cdot 10 x}$

Paso 1.3.16.3.5

Multiplica $2$ por $10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 20 x}$

Paso 1.3.16.3.6

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 100 + 20 x}$

Paso 1.3.16.4

Reordena los términos.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 20 x + 100}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Paso 2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $10$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Paso 2.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Paso 2.7

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Paso 2.8

Mueve el término $20$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 100}$

Paso 2.9

Evalúa el límite de $100$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 10$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 10$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 10$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Paso 3.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 10$ para $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $2$ por $- 10$ .

$\frac{- 20 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Paso 4.1.2

Suma $- 20$ y $10$ .

$\frac{- 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Paso 4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 10}{3 \cdot 100 + 20 \cdot - 10 + 100}$

Paso 4.2.2

Multiplica $3$ por $100$ .

$\frac{- 10}{300 + 20 \cdot - 10 + 100}$

Paso 4.2.3

Multiplica $20$ por $- 10$ .

$\frac{- 10}{300 - 200 + 100}$

Paso 4.2.4

Resta $200$ de $300$ .

$\frac{- 10}{100 + 100}$

Paso 4.2.5

Suma $100$ y $100$ .

$\frac{- 10}{200}$

Paso 4.3

Cancela el factor común de $- 10$ y $200$ .

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Paso 4.3.1

Factoriza $10$ de $- 10$ .

$\frac{10 (- 1)}{200}$

Paso 4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $10$ de $200$ .

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

Paso 4.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

Paso 4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{20}$

Paso 4.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{20}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{20}$

Forma decimal:

$- 0.05$