Cálculo Ejemplos

$x^{2} + 5 y^{2} = 5$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 5 y^{2}) = \frac{d}{d x} (5)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 y^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + 5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 5 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 5 (2 y y')$

Paso 2.2.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$2 x + 10 y y'$

Paso 2.3

Reordena los términos.

$10 y y' + 2 x$

Paso 3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$10 y y' + 2 x = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$10 y y' = - 2 x$

Paso 5.2

Divide cada término en $10 y y' = - 2 x$ por $10 y$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $10 y y' = - 2 x$ por $10 y$ .

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 2 x}{10 y}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 y y'}{10 y} = \frac{- 2 x}{10 y}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{10 y}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{10 y}$

Paso 5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{10 y}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $10$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{10 y}$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $10 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (5 y)}$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (5 y)}$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x}{5 y}$

Paso 5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{5 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{5 y}$