Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 2}{\sqrt{9 x^{2} + 1}}$

Paso 1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{9 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.2.2

Divide $9$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 2.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4

Evalúa el límite.

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Paso 4.1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $9$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Paso 6

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{\sqrt{9 + 0}}$

Paso 6.1.2

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9 + 0}}$

Paso 6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 6.2.1

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{9}}$

Paso 6.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 6.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{1}{3}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{3}$

Forma decimal:

$0.\overline{3}$