Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} - x) (\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x)}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Expande el numerador con el método PEIU (primero, exterior, interior, último).

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1}}^{2} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} x + \sqrt{x^{2} + 2 x + 1} (- x) - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 0}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Paso 2.2.2

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1} + x}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 1^{2}} + x}$

Paso 3.1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 3.1.1.3

Reescribe el polinomio.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} + x}$

Paso 3.1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{\sqrt{{(x + 1)}^{2}} + x}$

Paso 3.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{x + 1 + x}$

Paso 3.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1

Suma $x$ y $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} 1$

Paso 4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$1$