Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} {(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$ como $e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})$ ; para ello, mueve $\frac{2}{x}$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Paso 2.3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Paso 2.6

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + 1)}$

Paso 2.7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Paso 2.8

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Paso 2.9

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$e^{2 \frac{1}{2 (4)} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Paso 4.1.2

Cancela el factor común.

$e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Paso 4.1.3

Reescribe la expresión.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Paso 4.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (e^{8} + 1)$ .

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Forma decimal:

$7.38967570 \dots$