Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Paso 1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 1.1

Reescribe ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ como $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

Paso 1.2

Expande $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ ; para ello, mueve $\cot (x)$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

Paso 2

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + x)}$

Paso 3

Considera el límite izquierdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Paso 4

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\cot (x) \ln (1 + x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ - 0.1 & 1.05009079 \\ - 0.01 & 1.00500008 \\ - 0.001 & 1.0005 \\ - 0.0001 & 1.00005 \\ - 0.00001 & 1.00000499 \end{array}$

Paso 5

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $\cot (x) \ln (1 + x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la izquierda es $1$ .

$1$

Paso 6

Considera el límite derecho.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Paso 7

Haz una tabla para mostrar el comportamiento de la función $\cot (x) \ln (1 + x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ 0.1 & 0.94992267 \\ 0.01 & 0.99499991 \\ 0.001 & 0.99949999 \\ 0.0001 & 0.99995 \\ 0.00001 & 0.99999499 \end{array}$

Paso 8

A medida que los valores de $x$ se acercan a $0$ , los valores de la función se acercan a $1$ . Por lo tanto, el límite de $\cot (x) \ln (1 + x)$ a medida que $x$ se acerca a $0$ desde la derecha es $1$ .

$e^{1}$

Paso 9

Simplifica.

$e$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$e$

Forma decimal:

$2.71828182 \dots$