Cálculo Ejemplos

$x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} = 10$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x y^{2}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.3.6

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.3.7

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 y^{2} y')$

Paso 2.4.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - 3 y^{2} y'$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - 3 y^{2} y'$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 3 (2 x y y') + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Paso 2.5.3

Combina los términos.

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Paso 2.5.3.1

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 (y x) + 3 (2 x y y') + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Paso 2.5.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 y x + 6 x y y' + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Paso 2.5.4

Reordena los términos.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y'$

Paso 3

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $3 y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2}$

Paso 5.1.3

Suma $6 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 3 x^{2} y' + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.2

Factoriza $3 y'$ de $- 3 x^{2} y' + 6 x y y' - 3 y^{2} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $3 y'$ de $- 3 x^{2} y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 y'$ de $6 x y y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y) + 3 y' (- y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.2.4

Factoriza $3 y'$ de $3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y)$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y) + 3 y' (- y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.2.5

Factoriza $3 y'$ de $3 y' (- x^{2} + 2 x y) + 3 y' (- y^{2})$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.3

Factoriza.

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Paso 5.3.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.3.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ y cuya suma es $b = 2$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Reordena los términos.

$3 y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.3.1.1.2

Reordena $- y^{2}$ y $2 x y$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.3.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 x y$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.3.1.1.4

Reescribe $2$ como $1$ más $1$

$3 y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.3.1.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.3.1.1.6

Multiplica $x y$ por $1$ .

$3 y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.3.1.1.7

Multiplica $x y$ por $1$ .

$3 y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.3.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$3 y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.3.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 y' (x (- x + y) - y (- x + y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.3.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + y$ .

$3 y' ((- x + y) (x - y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$3 y' (- x + y) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.4

Combina exponentes.

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Paso 5.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$3 y' (- (x) + y) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.4.2

Factoriza $- 1$ de $y$ .

$3 y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- y)$ .

$3 y' (- (x - y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.4.4

Reescribe $- (x - y)$ como $- 1 (x - y)$ .

$3 y' (- 1 (x - y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.4.5

Elimina los paréntesis.

$3 y' \cdot (- 1 (x - y) (x - y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.4.6

Eleva $x - y$ a la potencia de $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 ((x - y) (x - y))) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.4.7

Eleva $x - y$ a la potencia de $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 ((x - y) (x - y))) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3 y' \cdot (- 1 {(x - y)}^{1 + 1}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.4.9

Suma $1$ y $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 {(x - y)}^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.4.10

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Paso 5.5

Divide cada término en $- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$ por $- 3 {(x - y)}^{2}$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$ por $- 3 {(x - y)}^{2}$ .

$\frac{- 3 y' {(x - y)}^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y' {(x - y)}^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común de ${(x - y)}^{2}$ .

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.5.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.5.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.5.3.1.2

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 5.5.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.5.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.5.3.1.3

Cancela el factor común de $6$ y $- 3$ .

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Paso 5.5.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $6 x y$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.5.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.3.1.3.2.1

Factoriza $3$ de $- 3 {(x - y)}^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{3 (- {(x - y)}^{2})}$

Paso 5.5.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{3 (- {(x - y)}^{2})}$

Paso 5.5.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{2 x y}{- {(x - y)}^{2}}$

Paso 5.5.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$