Cálculo Ejemplos

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{3}{4})}^{k}$

Paso 1

Expande la serie para cada valor de $k$ .

${(- \frac{3}{4})}^{1} + {(- \frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Simplifica.

$- \frac{3}{4} + {(- \frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.2

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3}{4} + 1 \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.4

Multiplica $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.6

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{3^{3}}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.10

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.11

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.1.11.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- 1)}^{4} {(\frac{3}{4})}^{4}$

Paso 2.1.11.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Paso 2.1.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + 1 \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Paso 2.1.13

Multiplica $\frac{3^{4}}{4^{4}}$ por $1$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Paso 2.1.14

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{4^{4}}$

Paso 2.1.15

Eleva $4$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2

Obtén el denominador común

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{64}{64}$ .

$- (\frac{3}{4} \cdot \frac{64}{64}) + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{64}{64}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.3

Multiplica $\frac{9}{16}$ por $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.4

Multiplica $\frac{9}{16}$ por $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.5

Multiplica $\frac{27}{64}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - (\frac{27}{64} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.6

Multiplica $\frac{27}{64}$ por $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.7

Multiplica $4$ por $64$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.8

Multiplica $16$ por $16$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.9

Reordena los factores de $64 \cdot 4$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 64} + \frac{81}{256}$

Paso 2.2.10

Multiplica $4$ por $64$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{256} + \frac{81}{256}$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 3 \cdot 64 + 9 \cdot 16 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Multiplica $- 3$ por $64$ .

$\frac{- 192 + 9 \cdot 16 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Paso 2.4.2

Multiplica $9$ por $16$ .

$\frac{- 192 + 144 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$\frac{- 192 + 144 - 108 + 81}{256}$

Paso 2.5

Suma $- 192$ y $144$ .

$\frac{- 48 - 108 + 81}{256}$

Paso 2.6

Resta $108$ de $- 48$ .

$\frac{- 156 + 81}{256}$

Paso 2.7

Suma $- 156$ y $81$ .

$\frac{- 75}{256}$

Paso 2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{75}{256}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{75}{256}$

Forma decimal:

$- 0.29296875$