Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{x}$

Paso 1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.2.1.1

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el seno es continuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.4

Reordena los factores de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{1}$

Paso 4

Divide $2 x \cos (x^{2})$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2})$

Paso 5

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} x \cos (x^{2})$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{2})$

Paso 7

Mueve el límite dentro de la función trigonométrica porque el coseno es continuo.

$2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{2})$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Paso 9

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 9.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cdot 0 \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Paso 9.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{2})$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$0 \cdot \cos (0^{2})$

Paso 10.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Paso 10.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$0 \cdot 1$

Paso 10.4

Multiplica $0$ por $1$ .

$0$