Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 8} {(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} + \frac{a}{x})}^{b x}$

Paso 1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x + a}{x})}^{b x}$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar el límite.

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Paso 2.1

Reescribe ${(\frac{x + a}{x})}^{b x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})}$

Paso 2.2

Expande $\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})$ ; para ello, mueve $b x$ fuera del logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{b x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el límite dentro del exponente.

$e^{lim_{x \to 8} b x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Paso 3.2

Mueve el término $b$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x + a}{x})}$

Paso 3.4

Mueve el límite dentro del logaritmo.

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x + a}{x})}$

Paso 3.5

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Paso 3.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} a}{lim_{x \to 8} x})}$

Paso 3.7

Evalúa el límite de $a$ que es constante cuando $x$ se acerca a $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Paso 4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $8$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Paso 4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Paso 4.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $8$ para $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + a}{8})}$

Paso 5

Mueve $8$ a la izquierda de $b$ .

$e^{8 b \ln (\frac{8 + a}{8})}$