Cálculo Ejemplos

$\int {(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Reescribe ${(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2}$ como $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ .

$\int (\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Paso 1.2

Expande $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \tan (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $\tan (2 x) \tan (2 x)$ .

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Paso 1.3.1.1.1

Eleva $\tan (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1.3.1.1.2

Eleva $\tan (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int {\tan (2 x)}^{1 + 1} + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1.3.1.2

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.2.1

Reordena $\tan (2 x)$ y $\cot (2 x)$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1.3.1.2.2

Reescribe $\tan (2 x) \cot (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \tan^{2} (2 x) + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1.3.1.2.3

Cancela los factores comunes.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1.3.1.3

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.1.3.1

Reescribe $\cot (2 x) \tan (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $\cot (2 x) \cot (2 x)$ .

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Paso 1.3.1.4.1

Eleva $\cot (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot (2 x) d x$

Paso 1.3.1.4.2

Eleva $\cot (2 x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x) d x$

Paso 1.3.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + {\cot (2 x)}^{1 + 1} d x$

Paso 1.3.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{2} (2 x) d x$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$\int \tan^{2} (2 x) + 2 + \cot^{2} (2 x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \tan^{2} (2 x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Paso 3

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 3.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 3.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 3.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \tan^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Paso 4

Combina $\tan^{2} (u_{1})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Paso 5

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Paso 6

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (u_{1})$ como $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Paso 9

Como la derivada de $\tan (u_{1})$ es $\sec^{2} (u_{1})$ , la integral de $\sec^{2} (u_{1})$ es $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (2 x) d x$

Paso 11

Sea $u_{2} = 2 x$ . Entonces $d u_{2} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 11.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Paso 12

Combina $\cot^{2} (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \frac{\cot^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int \cot^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Paso 14

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cot^{2} (u_{2})$ como $- 1 + \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int - 1 + \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Paso 15

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Paso 16

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Paso 17

Como la derivada de $- \cot (u_{2})$ es $\csc^{2} (u_{2})$ , la integral de $\csc^{2} (u_{2})$ es $- \cot (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C - \cot (u_{2}) + C)$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Simplifica.

$- \frac{u_{1}}{2} + \frac{\tan (u_{1})}{2} + 2 x + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) + C$

Paso 18.2

Simplifica.

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Paso 18.2.1

Para escribir $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 18.2.2

Combina $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

Paso 18.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

Paso 18.2.4

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Paso 18.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 18.2.5.1

Cancela el factor común.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Paso 18.2.5.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + 1 (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

Paso 18.2.6

Multiplica $- u_{2} - \cot (u_{2})$ por $1$ .

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

Paso 19

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 19.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

Paso 19.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Reduce la expresión $\frac{2 x}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 20.1.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Paso 20.1.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{x}{1} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Paso 20.2

Divide $x$ por $1$ .

$- x + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Paso 20.3

Suma $- x$ y $2 x$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

Paso 20.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x + \frac{\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)}{2} + C$

Paso 21

Reordena los términos.

$x + \frac{1}{2} (\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)) + C$