Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin (x)$ , $a = \frac{π}{6}$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = \frac{π}{6}$ en la función de linealización.

$L (x) = f (\frac{π}{6}) + f' (\frac{π}{6}) (x - \frac{π}{6})$

Paso 3

Evalúa $f (\frac{π}{6})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{6}$ en la expresión.

$f (\frac{π}{6}) = \sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.2

Simplifica $\sin (\frac{π}{6})$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$\sin (\frac{π}{6})$

Paso 3.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{6})$ es $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $\frac{π}{6}$ .

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Paso 4.1

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{π}{6}$ en la expresión.

$\cos (\frac{π}{6})$

Paso 4.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (x - \frac{π}{6})$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$L (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{π}{6})$

Paso 6.2

Combina $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $x$ .

$L (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (- \frac{π}{6})$

Paso 6.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{π}{6})$ .

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Paso 6.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{π}{6}$ .

$L (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} x}{2} - \frac{\sqrt{3} π}{2 \cdot 6}$

Paso 6.3.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$L (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} x}{2} - \frac{\sqrt{3} π}{12}$

Paso 7