Cálculo Ejemplos

$\int \frac{{(x - 1)}^{2}}{x} d x$

Paso 1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\int \frac{(x - 1) (x - 1)}{x} d x$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{x (x - 1) - 1 (x - 1)}{x} d x$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{x} d x$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Paso 5

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{x^{1} x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Paso 7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Paso 8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Paso 9

Simplifica la expresión.

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Paso 9.1

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Paso 9.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}{x} d x$

Paso 10

Resta $1 x$ de $- 1 x$ .

$\int \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x} d x$

Paso 11

Divide $x^{2} - 2 x + 1$ por $x$ .

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Paso 11.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Paso 11.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Paso 11.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Paso 11.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Paso 11.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$

Paso 11.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

Paso 11.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

Paso 11.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					-	$2 x$	+	$0$

Paso 11.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x + 0$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$

Paso 11.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$
							+	$1$

Paso 11.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int x - 2 + \frac{1}{x} d x$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 13

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 14

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Paso 15

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \ln (| x |) + C$

Paso 16

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \ln (| x |) + C$