Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

Paso 1

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)} d x$

Paso 1.2

Factoriza $\sin^{3} (x)$ de $\sin^{4} (x)$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \sin (x)} d x$

Paso 1.3

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)} d x$

Paso 1.4

Convierte de $\frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)}$ a $\cot^{3} (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot^{3} (x) d x$

Paso 1.5

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) \cot^{3} (x) d x$

Paso 2

Escribe $\cot^{3} (x)$ como $\cot (x) \cot^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) (\cot (x) \cot^{2} (x)) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cot^{2} (x)$ como $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) \cot (x) (- 1 + \csc^{2} (x)) d x$

Paso 4

Sea $u = \csc (x)$ . Entonces $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Deja $u = \csc (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Diferencia $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Paso 4.1.3

Reordena los factores de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - (- 1 + u^{2}) d u$

Paso 5

Multiplica $- (- 1 + u^{2})$ .

$\int - - 1 - u^{2} d u$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$u + C - \int u^{2} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 11

Simplifica.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\csc (x)$ .

$\csc (x) - \frac{1}{3} \csc^{3} (x) + C$