Cálculo Ejemplos

$\int {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Usa el teorema del binomio.

$\int {(a^{\frac{2}{3}})}^{3} + 3 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} (- x^{\frac{2}{3}}) + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(a^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{\frac{2}{3} \cdot 3} + 3 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} (- x^{\frac{2}{3}}) + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$\int a^{\frac{2}{3} \cdot 3} + 3 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} (- x^{\frac{2}{3}}) + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\int a^{2} + 3 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} (- x^{\frac{2}{3}}) + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int a^{2} + 3 \cdot - 1 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int a^{2} - 3 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.4

Multiplica los exponentes en ${(a^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{2}{3} \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.4.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.4.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{2 \cdot 2}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.5

Aplica la regla del producto a $- x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} ({(- 1)}^{2} {(x^{\frac{2}{3}})}^{2}) + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 1 a^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.8

Multiplica $3$ por $1$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.9

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3} \cdot 2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.9.2

Multiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Paso 1.2.9.2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2 \cdot 2}{3}} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.9.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.10

Aplica la regla del producto a $- x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} + {(- 1)}^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.11

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} - {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Paso 1.2.12

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.12.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3} \cdot 3} d x$

Paso 1.2.12.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.12.2.1

Cancela el factor común.

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3} \cdot 3} d x$

Paso 1.2.12.2.2

Reescribe la expresión.

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} - x^{2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int a^{2} d x + \int - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} d x + \int 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$a^{2} x + C + \int - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} d x + \int 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 4

Dado que $- 3 a^{\frac{4}{3}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 3 a^{\frac{4}{3}}$ fuera de la integral.

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 6

Dado que $3 a^{\frac{2}{3}}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3 a^{\frac{2}{3}}$ fuera de la integral.

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 3 a^{\frac{2}{3}} \int x^{\frac{4}{3}} d x + \int - x^{2} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 3 a^{\frac{2}{3}} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C) + \int - x^{2} d x$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 3 a^{\frac{2}{3}} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C) - \int x^{2} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 3 a^{\frac{2}{3}} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$a^{2} x - \frac{9 x^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{3}}}{5} + \frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}}}{7} - (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Paso 10.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$a^{2} x - \frac{9 x^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{3}}}{5} + \frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{x^{3}}{3} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$a^{2} x - \frac{9}{5} x^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{3}} + \frac{9}{7} a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} x^{3} + C$