Cálculo Ejemplos

$\int {(1 + \frac{1}{t})}^{3} (\frac{1}{t^{2}}) d t$

Paso 1

Combina ${(1 + \frac{1}{t})}^{3}$ y $\frac{1}{t^{2}}$ .

$\int \frac{{(1 + \frac{1}{t})}^{3}}{t^{2}} d t$

Paso 2

Sea $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Entonces $d u = - \frac{1}{t^{2}} d t$ , de modo que $- d u = \frac{1}{t^{2}} d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 1 + \frac{1}{t}$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $1 + \frac{1}{t}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \frac{1}{t}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Paso 2.1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{1}{t}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Reescribe $\frac{1}{t}$ como $t^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{- 1}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$0 - t^{- 2}$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{t^{2}}$

Paso 2.1.4.2

Resta $\frac{1}{t^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{t^{2}}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - u^{3} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int u^{3} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Paso 5

Reescribe $- (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ como $- \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$- \frac{1}{4} u^{4} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + \frac{1}{t}$ .

$- \frac{1}{4} {(1 + \frac{1}{t})}^{4} + C$