Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{24}{x^{2} + 12}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{24}{x^{2} + 12}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ .

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + 12})$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{1}{x^{2} + 12}$ como ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 12)}^{- 1})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 12$ .

$f' (x) = 24 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f' (x) = 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 12$ .

$f' (x) = 24 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$f' (x) = - 24 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (12))$

Paso 1.3.4

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

Paso 1.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

Paso 1.3.5.2

Multiplica $2$ por $- 24$ .

$f' (x) = - 48 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 48 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.4.2

Combina los términos.

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Paso 1.4.2.1

Combina $- 48$ y $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 48}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{48}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

Paso 1.4.2.3

Combina $x$ y $\frac{48}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 48}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Paso 1.4.2.4

Mueve $48$ a la izquierda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{48 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{48 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 2.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 12)}^{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Paso 2.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 12$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 2.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 12$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 2.5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 2.5.2

Factoriza $x^{2} + 12$ de ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

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Paso 2.5.2.1

Factoriza $x^{2} + 12$ de ${(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 2.5.2.2

Factoriza $x^{2} + 12$ de $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 2.5.2.3

Factoriza $x^{2} + 12$ de $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 2.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.1

Factoriza $x^{2} + 12$ de ${(x^{2} + 12)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.6.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.6.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.9

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.14

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 48 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.16

Combina $- 48$ y $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 48 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = - \frac{(48) (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.18

Simplifica.

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Paso 2.18.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = - \frac{48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.18.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.18.2.1

Multiplica $- 3$ por $48$ .

$f'' (x) = - \frac{- 144 x^{2} + 48 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 2.18.2.2

Multiplica $48$ por $12$ .

$f'' (x) = - \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.2

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{({(x^{2} + 12)}^{3})}^{2}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 12)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{3 \cdot 2}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $- 144 x^{2} + 576$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 144 x^{2}] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (\frac{d}{d x} (- 144 x^{2}) + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.3

Como $- 144$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 144 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 144 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 144 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 144 (2 x) + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.5

Multiplica $2$ por $- 144$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.6

Como $576$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $576$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x + 0) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.3.7

Suma $- 288 x$ y $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 12$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 12$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (3 {(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (12)))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.4

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.5.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) (2 \cdot ({(x^{2} + 12)}^{2} x))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.5.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 3.5.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot 0$

Paso 3.5.7

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.7.1

Multiplica $\frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ por $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + 0$

Paso 3.5.7.2

Suma $- \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$ y $0$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.1

Factoriza ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ de ${(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.6.2.1.1

Factoriza ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ de ${(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x)$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.1.2

Factoriza ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ de $(- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + {(x^{2} + 12)}^{2} x (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.1.3

Factoriza ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ de ${(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + {(x^{2} + 12)}^{2} x (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) - 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.2

Combina exponentes.

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Paso 3.6.2.2.1

Multiplica $- 144$ por $- 6$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) + 864 x^{2} - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.2.2

Multiplica $- 6$ por $576$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.6.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (x^{2} \cdot - 288 + 12 \cdot - 288 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.3.2

Mueve $- 288$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (- 288 \cdot x^{2} + 12 \cdot - 288 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.3.3

Multiplica $12$ por $- 288$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (- 288 x^{2} - 3456 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.4

Suma $- 288 x^{2}$ y $864 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} - 3456 - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.5

Resta $3456$ de $- 3456$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} - 6912)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.6

Factoriza $576$ de $576 x^{2} - 6912$ .

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Paso 3.6.2.6.1

Factoriza $576$ de $576 x^{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 (x^{2}) - 6912)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.6.2

Factoriza $576$ de $- 6912$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} + 576 \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.2.6.3

Factoriza $576$ de $576 x^{2} + 576 \cdot - 12$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x \cdot (576 (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.3

Combina los términos.

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Paso 3.6.3.1

Mueve $576$ a la izquierda de ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ .

$f''' (x) = - \frac{576 \cdot (({(x^{2} + 12)}^{2} x) (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.3.2

Cancela el factor común de ${(x^{2} + 12)}^{2}$ y ${(x^{2} + 12)}^{6}$ .

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Paso 3.6.3.2.1

Factoriza ${(x^{2} + 12)}^{2}$ de $576 {(x^{2} + 12)}^{2} x (x^{2} - 12)$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

Paso 3.6.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.3.2.2.1

Factoriza ${(x^{2} + 12)}^{2}$ de ${(x^{2} + 12)}^{6}$ .

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{2} {(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 3.6.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{2} {(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 3.6.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f''' (x) = - \frac{576 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $- 576$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{576 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$ con respecto a $x$ es $- 576 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{d}{d x} \frac{x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Paso 4.2

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{({(x^{2} + 12)}^{4})}^{2}}$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 12)}^{4})}^{2}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{4 \cdot 2}}$

Paso 4.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 12$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 12) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.5

Diferencia.

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Paso 4.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 12)) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.5.3

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.5.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.9

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.9.1

Suma $1$ y $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \cdot 1) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.9.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.9.3.1

Multiplica $x^{2} - 12$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.9.3.2

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.10

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x^{2} + 12$ .

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Paso 4.10.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 12$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.10.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 12$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (4 {(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.11

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.11.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.11.2

Factoriza ${(x^{2} + 12)}^{3}$ de ${(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

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Paso 4.11.2.1

Factoriza ${(x^{2} + 12)}^{3}$ de ${(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12)$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.11.2.2

Factoriza ${(x^{2} + 12)}^{3}$ de $- 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + {(x^{2} + 12)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.11.2.3

Factoriza ${(x^{2} + 12)}^{3}$ de ${(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + {(x^{2} + 12)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

Paso 4.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.12.1

Factoriza ${(x^{2} + 12)}^{3}$ de ${(x^{2} + 12)}^{8}$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{3} {(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.12.2

Cancela el factor común.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{3} {(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.12.3

Reescribe la expresión.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.13

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.14

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.15

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.16

Simplifica la expresión.

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Paso 4.16.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.16.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x (x^{2} - 12) x}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.17

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 (x \cdot x) (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.18

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 (x \cdot x) (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{1 + 1} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.20

Suma $1$ y $1$ .

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.21

Combina $- 576$ y $\frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.22

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{(576) ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23

Simplifica.

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Paso 4.23.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.23.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.23.3.1.1

Expande $(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.23.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2} - 12) + 12 (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.23.3.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.23.3.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.23.3.1.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.2.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.2.1.3

Mueve $- 12$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 \cdot x^{2} + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.2.1.4

Multiplica $3$ por $12$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 x^{2} + 36 x^{2} + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.2.1.5

Multiplica $12$ por $- 12$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 x^{2} + 36 x^{2} - 144) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.2.2

Suma $- 12 x^{2}$ y $36 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} + 24 x^{2} - 144) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4}) + 576 (24 x^{2}) + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.4

Simplifica.

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Paso 4.23.3.1.4.1

Multiplica $3$ por $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 576 (24 x^{2}) + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.4.2

Multiplica $24$ por $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.4.3

Multiplica $576$ por $- 144$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.23.3.1.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 (x^{2} x^{2})) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{2 + 2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{4}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.6

Multiplica $- 8$ por $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.7

Multiplica $- 12$ por $- 8$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 576 (96 x^{2})}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.1.8

Multiplica $96$ por $576$ .

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 55296 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.2

Resta $4608 x^{4}$ de $1728 x^{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 2880 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 55296 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.3.3

Suma $13824 x^{2}$ y $55296 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 2880 x^{4} + 69120 x^{2} - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.4

Factoriza $576$ de $- 2880 x^{4} + 69120 x^{2} - 82944$ .

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Paso 4.23.4.1

Factoriza $576$ de $- 2880 x^{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 69120 x^{2} - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.4.2

Factoriza $576$ de $69120 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2}) - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.4.3

Factoriza $576$ de $- 82944$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2}) + 576 (- 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.4.4

Factoriza $576$ de $576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2}) + 576 (- 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.4.5

Factoriza $576$ de $576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2}) + 576 (- 144)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2} - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.5

Factoriza $- 1$ de $- 5 x^{4}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4}) + 120 x^{2} - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.6

Factoriza $- 1$ de $120 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4}) - (- 120 x^{2}) - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.7

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{4}) - (- 120 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.8

Reescribe $- 144$ como $- 1 (144)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 1 \cdot 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.9

Factoriza $- 1$ de $- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 1 (144)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.10

Reescribe $- (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)$ como $- 1 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 1 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = \frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 4.23.12

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}})$

Paso 4.23.13

Multiplica $\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ .

$\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$