Cálculo Ejemplos

$y = (7 x^{2} - 1) (2 x^{3} + x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 7 x^{2} - 1$ y $g (x) = 2 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x^{3} + x) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Paso 1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Paso 1.2.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

Paso 1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} (7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 1.2.7

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 1.2.9

Multiplica $2$ por $7$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Paso 1.2.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + 0)$

Paso 1.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.11.1

Suma $14 x$ y $0$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x)$

Paso 1.2.11.2

Mueve $14$ a la izquierda de $2 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 \cdot ((2 x^{3} + x) x)$

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 \cdot ((2 x^{3} + x) x)$

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 \cdot ((2 x^{3} + x) x)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (14 (2 x^{3}) + 14 x) x$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6

Combina los términos.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $6$ por $7$ .

$f' (x) = 42 x^{2} x^{2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.6.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$f' (x) = 42 (x^{2} x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 42 x^{2 + 2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

$f' (x) = 42 x^{4} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.4

Multiplica $7$ por $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.6

Suma $- 6 x^{2}$ y $7 x^{2}$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.7

Multiplica $2$ por $14$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{3} x + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 (x \cdot x^{3}) + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{1 + 3} + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.10

Suma $1$ y $3$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x \cdot x$

Paso 1.3.6.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

Paso 1.3.6.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

Paso 1.3.6.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{1 + 1}$

Paso 1.3.6.14

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{2}$

Paso 1.3.6.15

Suma $42 x^{4}$ y $28 x^{4}$ .

$f' (x) = 70 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 x^{2}$

Paso 1.3.6.16

Suma $x^{2}$ y $14 x^{2}$ .

$f' (x) = 70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$

$f' (x) = 70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$

$f' (x) = 70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$

$f' (x) = 70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [70 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (70 x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [70 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $70$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $70 x^{4}$ con respecto a $x$ es $70 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 70 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f'' (x) = 70 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $70$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

$f'' (x) = 280 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{2}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $15$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + 0$

Paso 2.4.2

Suma $280 x^{3} + 30 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x$

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x$

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $280 x^{3} + 30 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [280 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (280 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [280 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $280$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $280 x^{3}$ con respecto a $x$ es $280 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 280 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f''' (x) = 280 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $280$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x)$

$f''' (x) = 840 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x)$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

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Paso 3.3.1

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30 x$ con respecto a $x$ es $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $30$ por $1$ .

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30$

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30$

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $840 x^{2} + 30$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [840 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (840 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [840 x^{2}]$ .

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Paso 4.2.1

Como $840$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $840 x^{2}$ con respecto a $x$ es $840 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 840 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 840 (2 x) + \frac{d}{d x} (30)$

Paso 4.2.3

Multiplica $2$ por $840$ .

$f^{4} (x) = 1680 x + \frac{d}{d x} (30)$

$f^{4} (x) = 1680 x + \frac{d}{d x} (30)$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.3.1

Como $30$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $30$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = 1680 x + 0$

Paso 4.3.2

Suma $1680 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = 1680 x$

$f^{4} (x) = 1680 x$

$f^{4} (x) = 1680 x$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$