Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 - x^{2}}$ como ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.8

Combina fracciones.

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Paso 1.8.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.8.3

Mueve ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.8.4

Combina $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.9

Según la regla de la suma, la derivada de $4 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.10

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.11

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.14

Combina fracciones.

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Paso 1.14.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.14.2

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.14.3

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.18

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.20.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.20.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.22

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Paso 1.23

Multiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 1.24

Para escribir ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.25

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.26

Multiplica ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.26.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.26.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.26.3

Suma $1$ y $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.26.4

Divide $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.27

Simplifica ${(4 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.28

Resta $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.29

Reordena los términos.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = - 2 x^{2} + 4$ y $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.3

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.4.6

Suma $- 4 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = - x^{2} + 4$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.10

Combina fracciones.

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Paso 2.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.10.3

Mueve ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.11

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.12

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.14

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.15

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.16

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.16.1

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.16.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.16.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.16.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.17

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.17.1

Factoriza $2$ de $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.17.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.17.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.19

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.20

Multiplica $- 2 x^{2} + 4$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21

Simplifica.

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Paso 2.21.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.21.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.2

Multiplica $- 2 x^{2} + 4$ por $\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.3

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2} + 4$ .

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Paso 2.21.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.3.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (2)) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.3.3

Factoriza $2$ de $2 (- x^{2}) + 2 (2)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.4

Para escribir $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.5

Combina $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ y $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7

Reescribe $\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ en forma factorizada.

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Paso 2.21.1.7.1

Factoriza $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x$ .

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Paso 2.21.1.7.1.1

Factoriza $2 x$ de $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.1.2

Factoriza $2 x$ de $2 (- x^{2} + 2) x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.1.3

Factoriza $2 x$ de $2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2

Combina exponentes.

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Paso 2.21.1.7.2.1

Multiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.21.1.7.2.1.1

Mueve ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2.1.5

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.7.2.2

Simplifica $- 2 {(- x^{2} + 4)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.21.1.8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.8.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 8 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.8.4

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 8 + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.1.8.5

Suma $- 8$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.2

Combina los términos.

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Paso 2.21.2.1

Reescribe $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 4}$

Paso 2.21.2.2

Multiplica $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{- x^{2} + 4}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Paso 2.21.2.3

Multiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 4$ sumando los exponentes.

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Paso 2.21.2.3.1

Multiplica ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.21.2.3.1.1

Eleva $- x^{2} + 4$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

Paso 2.21.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 2.21.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 2.21.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 2.21.2.3.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x (x^{2} - 6)$ y $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}})$

Paso 3.3

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

Paso 3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 6$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 6) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.5

Diferencia.

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Paso 3.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.5.3

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.5.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (2 x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.7

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Suma $1$ y $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{2} + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.9.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{2} + (x^{2} - 6) \cdot 1) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.9.3

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.3.1

Multiplica $x^{2} - 6$ por $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{2} + x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.9.3.2

Suma $2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.10

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = - x^{2} + 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.10.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2} + 4$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.10.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2} + 4$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.11

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.12

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 3.14.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.14.2

Resta $2$ de $3$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.15

Combina fracciones.

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Paso 3.15.1

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.15.2

Combina $\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ y $x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.16

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.17

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.18

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.19

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.20

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.21

Combina fracciones.

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Paso 3.21.1

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.21.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + 2 (\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2}) \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.21.3

Combina $2$ y $\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.21.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.21.5

Combina $x$ y $\frac{6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.22

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x \cdot x (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.23

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x \cdot x (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.24

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x^{1 + 1} (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.25

Suma $1$ y $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x^{2} (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.26

Factoriza $2$ de $x^{2} (6 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.27

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.27.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.27.2

Cancela el factor común.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.27.3

Reescribe la expresión.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}{1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.27.4

Divide $x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ por $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.28

Factoriza ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)$ .

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Paso 3.28.1

Reordena $x^{2}$ y $3$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.28.2

Factoriza ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6)$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6)) + 3 \cdot (x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.28.3

Factoriza ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ de $3 \cdot x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6)$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6)) + {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.28.4

Factoriza ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ de ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6)) + {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot x^{2} (x^{2} - 6))$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.29

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.29.1

Cancela el factor común.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.29.2

Reescribe la expresión.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.30

Simplifica.

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

Paso 3.31

Mueve ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3} {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}})$

Paso 3.32

Multiplica ${(- x^{2} + 4)}^{3}$ por ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.32.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3 - \frac{1}{2}}})$

Paso 3.32.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Paso 3.32.3

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}})$

Paso 3.32.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}})$

Paso 3.32.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.32.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{6 - 1}{2}}})$

Paso 3.32.5.2

Resta $1$ de $6$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}})$

Paso 3.33

Combina $2$ y $\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34

Simplifica.

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Paso 3.34.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6)) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.34.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.34.3.1.1

Expande $(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.34.3.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (- x^{2} (3 x^{2} - 6) + 4 (3 x^{2} - 6)) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2} - 6)) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.34.3.1.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.34.3.1.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.34.3.1.2.1.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.2.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 x^{4}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.2.1.4

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 6 x^{2} + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.2.1.5

Multiplica $3$ por $4$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 6 x^{2} + 12 x^{2} + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.2.1.6

Multiplica $4$ por $- 6$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 6 x^{2} + 12 x^{2} - 24) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.2.2

Suma $6 x^{2}$ y $12 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 18 x^{2} - 24) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (18 x^{2}) + 2 \cdot - 24 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.34.3.1.4.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 (18 x^{2}) + 2 \cdot - 24 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.4.2

Multiplica $18$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} + 2 \cdot - 24 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.4.3

Multiplica $2$ por $- 24$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.5

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.34.3.1.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 (x^{2} x^{2})) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 x^{2 + 2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.5.3

Suma $2$ y $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.6

Multiplica $3$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.7

Multiplica $- 6$ por $3$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} + 2 (- 18 x^{2})}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.1.8

Multiplica $- 18$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} - 36 x^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.2

Combina los términos opuestos en $- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} - 36 x^{2}$ .

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Paso 3.34.3.2.1

Suma $- 6 x^{4}$ y $6 x^{4}$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{2} - 48 + 0 - 36 x^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.2.2

Suma $36 x^{2} - 48$ y $0$ .

$f''' (x) = \frac{36 x^{2} - 48 - 36 x^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.2.3

Resta $36 x^{2}$ de $36 x^{2}$ .

$f''' (x) = \frac{0 - 48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.3.2.4

Resta $48$ de $0$ .

$f''' (x) = \frac{- 48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.34.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 4.1.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 4.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$ como ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {({(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$

Paso 4.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 4.1.2.2.2.1

Combina $\frac{5}{2}$ y $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}$

Paso 4.1.2.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 5}{2}}$

Paso 4.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ y $g (x) = - x^{2} + 4$ .

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Paso 4.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2} + 4$ .

$f^{4} (x) = - 48 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2} + 4$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.6.2

Resta $2$ de $- 5$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.8

Combina ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}$ y $\frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.9

Simplifica la expresión.

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Paso 4.9.1

Mueve $5$ a la izquierda de ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5 \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.9.2

Mueve ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.9.3

Multiplica $- 1$ por $- 48$ .

$f^{4} (x) = 48 (\frac{5}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

Paso 4.10

Combina $\frac{5}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ y $48$ .

$f^{4} (x) = \frac{5 \cdot 48}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Paso 4.11

Multiplica $5$ por $48$ .

$f^{4} (x) = \frac{240}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Paso 4.12

Factoriza $2$ de $240$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 \cdot 120}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Paso 4.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.13.1

Factoriza $2$ de $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{2 \cdot 120}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Paso 4.13.2

Cancela el factor común.

$f^{4} (x) = \frac{2 \cdot 120}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Paso 4.13.3

Reescribe la expresión.

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

Paso 4.14

Según la regla de la suma, la derivada de $- x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))$

Paso 4.15

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4))$

Paso 4.16

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Paso 4.17

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4))$

Paso 4.18

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x + 0)$

Paso 4.19

Combina fracciones.

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Paso 4.19.1

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Paso 4.19.2

Combina $- 2$ y $\frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2 \cdot 120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot x$

Paso 4.19.3

Multiplica $- 2$ por $120$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 240}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot x$

Paso 4.19.4

Combina $\frac{- 240}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ y $x$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.19.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$- \frac{240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$