Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} \ln (5 x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (5 x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Combina $\frac{1}{5 x}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.2.1

Factoriza $x$ de $5 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 5} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x}{5} \cdot \frac{d}{d x} (5 x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{x}{5} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.4.1

Combina $5$ y $\frac{x}{5}$ .

$f' (x) = \frac{5 x}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.4.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{5 x}{5} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = x \cdot 1 + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f' (x) = x + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (5 x) (2 x)$

Paso 1.3.8

Reordena los términos.

$f' (x) = 2 x \ln (5 x) + x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x \ln (5 x) + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x \ln (5 x)]$ .

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Paso 2.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x \ln (5 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x \ln (5 x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (5 x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.4

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \cdot 1)) + \ln (5 x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \cdot 1)) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.7

Multiplica $5$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{5 x} \cdot 5) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{1}{5 x}$ y $5$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{5}{5 x}) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.9

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 2.2.9.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{5}{5 x}) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.9.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.10

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.11

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.11.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.11.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (5 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.2.12

Multiplica $\ln (5 x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (5 x)) + 1$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (5 x) + 1$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (5 x) + 1$

Paso 2.4.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (5 x) + 3$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 \ln (5 x) + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 \ln (5 x)]$ .

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Paso 3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \ln (5 x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.2.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.5

Multiplica $5$ por $1$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{5 x} \cdot 5) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.6

Combina $\frac{1}{5 x}$ y $5$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{5}{5 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.7

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.7.1

Cancela el factor común.

$f''' (x) = 2 (\frac{5}{5 x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.7.2

Reescribe la expresión.

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.2.8

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{2}{x}$ y $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

Paso 4.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

Paso 4.5

Simplifica.

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Paso 4.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 4.5.2

Combina los términos.

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Paso 4.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 4.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$