Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x - x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza $x$ de $x - x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{x^{1} - x^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{x \cdot 1 - x^{2}}$

Paso 1.1.1.3

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{1}{x \cdot 1 + x (- x)}$

Paso 1.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- x)$ .

$\frac{1}{x \cdot (1 - x)}$

Paso 1.1.1.5

Multiplica $x$ por $1 - x$ .

$\frac{1}{x (1 - x)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

Paso 1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $x (1 - x)$ .

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Paso 1.1.4

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (x (1 - x))}{x (1 - x)} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Paso 1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Paso 1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (x (1 - x))}{x} + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Paso 1.1.6.1.2

Divide $A (1 - x)$ por $1$ .

$1 = A (1 - x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Paso 1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Paso 1.1.6.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Paso 1.1.6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A - A x + \frac{(B) (x (1 - x))}{1 - x}$

Paso 1.1.6.5

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 1.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A - A x + \frac{B (x (1 - x))}{1 - x}$

Paso 1.1.6.5.2

Divide $(B) (x)$ por $1$ .

$1 = A - A x + (B) (x)$

$1 = A - A x + B x$

Paso 1.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.7.1

Mueve $A$ .

$1 = A - x A + B x$

Paso 1.1.7.2

Reordena $B$ y $x$ .

$1 = A - x A + B x$

Paso 1.1.7.3

Mueve $A$ .

$1 = - x A + B x + A$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 1 A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Reescribe la ecuación como $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = - 1 A + B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 1 A + B$ por $1$ .

$0 = - 1 \cdot 1 + B$

$A = 1$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = 1$

Paso 1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 1 + B$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = 1$

Paso 1.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$B = 1$

$A = 1$

$B = 1$

$A = 1$

Paso 1.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = 1 A = 1$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = 1, A = 1$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}$

Paso 1.5

Elimina el cero de la expresión.

$\int \frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 4

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 4.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

$\ln (| x |) - \ln (| u |) + C$

Paso 9

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| u |}) + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$\ln (\frac{| x |}{| 1 - x |}) + C$