Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

Paso 1

Sea $x = \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $\sec (t) \tan (t)$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $\sec (t) \tan (t)$ de $\sec^{3} (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) (\sec^{2} (t))} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) \sec^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t)} d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)} d t$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)}$ como ${(\frac{1}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\sec (t)})}^{2} d t$

Paso 2.2.2.3

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Paso 2.2.2.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int {(1 \cos (t))}^{2} d t$

Paso 2.2.2.5

Multiplica $\cos (t)$ por $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Paso 3

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 7

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 7.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 7.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 8

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Paso 10

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 11

Simplifica.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 12.3

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (x)$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (x))) + C$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 arcsec (x))$ .

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}) + C$

Paso 13.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Paso 13.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $arcsec (x)$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

Paso 13.4

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

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Paso 13.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2 \cdot 2} + C$

Paso 13.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{4} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{4} \sin (2 arcsec (x)) + C$