Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{e^{y}} d y$

Paso 1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Niega el exponente de $e^{y}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y$

Paso 1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y$

Paso 1.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y$

Paso 1.2.1.3

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y$

Paso 1.2.2

Multiplica $e^{- y}$ por $1$ .

$\int e^{- y} d y$

Paso 2

Sea $u = - y$ . Entonces $d u = - d y$ , de modo que $- d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Deja $u = - y$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Diferencia $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - e^{u} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int e^{u} d u$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C)$

Paso 5

Simplifica.

$- e^{u} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- y$ .

$- e^{- y} + C$