Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x} d x$

Paso 1

Sea $x = \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int \frac{\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Paso 2.1.1

Reorganiza los términos.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.1.2

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t)}}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.1.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\tan (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2.2

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{1}{\sin (t)} \sec^{2} (t) d t$

Paso 2.2.5

Convierte de $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 3

Eleva $\csc (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \csc^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Paso 4

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (t)$ como $1 + \tan^{2} (t)$ .

$\int \csc^{1} (t) (1 + \tan^{2} (t)) d t$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \csc^{1} (t) \cdot 1 + \csc^{1} (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

$\int \csc (t) + \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \csc (t) d t + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 7

La integral de $\csc (t)$ con respecto a $t$ es $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \csc (t) \tan^{2} (t) d t$

Paso 8

Aplica la identidad recíproca a $\csc (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \tan^{2} (t) d t$

Paso 9

Escribe $\tan (t)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2} d t$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1}{\sin (t)} \cdot \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Paso 10.2

Combinar.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 {\sin (t)}^{2}}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Paso 10.3

Cancela el factor común de ${\sin (t)}^{2}$ y $\sin (t)$ .

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Paso 10.3.1

Factoriza $\sin (t)$ de $1 {\sin (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Paso 10.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.3.2.1

Factoriza $\sin (t)$ de $\sin (t) {\cos (t)}^{2}$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) ({\cos (t)}^{2})} d t$

Paso 10.3.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) (1 \sin (t))}{\sin (t) {\cos (t)}^{2}} d t$

Paso 10.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{1 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} d t$

Paso 10.4

Multiplica $\sin (t)$ por $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Paso 11

Multiplica por $1$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos^{2} (t)} d t$

Paso 12

Factoriza $\cos (t)$ de $\cos^{2} (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t) \cdot 1}{\cos (t) \cos (t)} d t$

Paso 13

Separa las fracciones.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} d t$

Paso 14

Convierte de $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ a $\tan (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \frac{1}{\cos (t)} d t$

Paso 15

Convierte de $\frac{1}{\cos (t)}$ a $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \int \tan (t) \sec (t) d t$

Paso 16

Como la derivada de $\sec (t)$ es $\tan (t) \sec (t)$ , la integral de $\tan (t) \sec (t)$ es $\sec (t)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C + \sec (t) + C$

Paso 17

Simplifica.

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + \sec (t) + C$

Paso 18

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + \sec (\arctan (x)) + C$