Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x^{3}} d x$

Paso 1

Sea $x = 3 \sec (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ es positiva.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $9$ de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.3

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.4

Factoriza $9$ de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.6

Reescribe $9 \tan^{2} (t)$ como ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.1.7

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Factoriza $3$ de $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 (\sec (t)))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.2

Aplica la regla del producto a $3 (\sec (t))$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{3^{3} \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $3$ y $27$ .

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Paso 2.2.4.1

Factoriza $3$ de $3 \tan (t)$ .

$\int \frac{3 (\tan (t))}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $27 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{3 (\tan (t))}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.5

Combina $3$ y $\frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Paso 2.2.6

Combina $\sec (t)$ y $\frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)} \tan (t) d t$

Paso 2.2.7

Combina $\frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)}$ y $\tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t)) \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Paso 2.2.8

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Paso 2.2.9

Eleva $\tan (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Paso 2.2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{\sec (t) (3 {\tan (t)}^{1 + 1})}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Paso 2.2.11

Suma $1$ y $1$ .

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Paso 2.2.12

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \cdot \sec (t) \tan^{2} (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Paso 2.2.13

Cancela el factor común de $3$ y $9$ .

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Paso 2.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 \sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

Paso 2.2.13.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.13.2.1

Factoriza $3$ de $9 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Paso 2.2.13.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

Paso 2.2.13.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Paso 2.2.14

Cancela el factor común de $\sec (t)$ y $\sec^{3} (t)$ .

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Paso 2.2.14.1

Factoriza $\sec (t)$ de $\sec (t) \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{3 \sec^{3} (t)} d t$

Paso 2.2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.14.2.1

Factoriza $\sec (t)$ de $3 \sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Paso 2.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

Paso 2.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\tan^{2} (t)}{3 \sec^{2} (t)} d t$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)} d t$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $\frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)}$ como ${(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2} d t$

Paso 4.2

Reescribe $\sec (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Paso 4.3

Reescribe $\tan (t)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

Paso 4.4

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cos (t))}^{2} d t$

Paso 4.5

Escribe $\cos (t)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Paso 4.6

Cancela el factor común de $\cos (t)$ .

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Paso 4.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

Paso 4.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) d t$

Paso 5

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (t)$ como $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{6} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{6} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Paso 11

Sea $u = 2 t$ . Entonces $d u = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = 2 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 11.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 12

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{6} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Paso 14

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{6} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 15

Simplifica.

$\frac{1}{6} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 t$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 16.3

Reemplaza todos los casos de $t$ con $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Combina $\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Paso 17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Paso 17.3

Combina $\frac{1}{6}$ y $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

Paso 17.4

Multiplica $\frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2})$ .

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Paso 17.4.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{6 \cdot 2} + C$

Paso 17.4.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{12} + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{12} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$