Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\cos^{3} (x)} d x$

Paso 1.2

Factoriza $\cos^{2} (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$\int \frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\cos^{2} (x) \cos (x)} d x$

Paso 1.3

Separa las fracciones.

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

Paso 1.4

Convierte de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ a $\tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{1}{\cos (x)} \tan^{2} (x) d x$

Paso 1.5

Convierte de $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Paso 2

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$\int \sec^{1} (x) \tan^{2} (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{1} (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int \sec^{1} (x) \cdot - 1 + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

$\int - \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

Paso 7

La integral de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x$

Paso 8

Factoriza $\sec (x)$ de $\sec^{3} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

Paso 9

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sec (x)$ y $d v = \sec^{2} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

Paso 10

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

Paso 11

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

Paso 12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Paso 13

Simplifica la expresión.

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Paso 13.1

Suma $1$ y $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

Paso 13.2

Reordena $\tan^{2} (x)$ y $\sec (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

Paso 14

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

Paso 15

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 15.1

Reescribe la exponenciación como un producto.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

Paso 15.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Paso 15.3

Reordena $\sec (x)$ y $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

Paso 16

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

Paso 17

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

Paso 18

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

Paso 19

Suma $1$ y $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

Paso 20

Eleva $\sec (x)$ a la potencia de $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

Paso 21

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

Paso 22

Suma $2$ y $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

Paso 23

Divide la única integral en varias integrales.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Paso 24

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

Paso 25

La integral de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

Paso 26

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 26.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Paso 26.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

Paso 27

Al resolver $\int \sec^{3} (x) d x$ , obtenemos que $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

Paso 28

Multiplica $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ por $1$ .

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

Paso 29

Simplifica.

$- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + \frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$