Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{{(4 - x^{2})}^{3}}} d x$

Paso 2

Sea $x = 2 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ es positiva.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Simplifica $\sqrt{{(4 - {(2 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (2^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - (4 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) - 4 \sin^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.3

Factoriza $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.4

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.5

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(4 \cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.6

Aplica la regla del producto a $4 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{4^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.7

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.8

Multiplica los exponentes en ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

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Paso 3.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{64 \cos^{6} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.9

Reescribe $64 \cos^{6} (t)$ como ${(8 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{\sqrt{{(8 \cos^{3} (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.1.10

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{8 \cos^{3} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2 \cos (t)$ .

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Paso 3.2.1.1

Factoriza $2 \cos (t)$ de $8 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{2 \cos (t) (4 \cos^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Paso 3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\int \frac{{(2 \sin (t))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{{(2 (\sin (t)))}^{2}}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{2^{2} \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\int \frac{4 \sin^{2} (t)}{4 \cos^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)} d t$

Paso 3.2.2.5

Convierte de $\frac{\sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$ a $\tan^{2} (t)$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Paso 4

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Paso 7

Como la derivada de $\tan (t)$ es $\sec^{2} (t)$ , la integral de $\sec^{2} (t)$ es $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Paso 8

Simplifica.

$- t + \tan (t) + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \arcsin (\frac{x}{2}) + \tan (\arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Paso 10

Reordena los términos.

$- \arcsin (\frac{1}{2} x) + \tan (\arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$