Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1 - y^{2}}{3 y} d y$

Paso 1

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - y^{2}}{y} d y$

Paso 2

Reordena $1$ y $- y^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- y^{2} + 1}{y} d y$

Paso 3

Divide $- y^{2} + 1$ por $y$ .

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Paso 3.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Paso 3.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- y^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $y$ .

				-	$y$
	$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

Paso 3.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$0$

Paso 3.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- y^{2} + 0$ .

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$

Paso 3.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

Paso 3.6

Retira el próximo término del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Paso 3.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{1}{3} \int - y + \frac{1}{y} d y$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{3} (\int - y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} (- \int y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y)$

Paso 7

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

Paso 8.2

Simplifica.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |)) + C$