Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{4} + 8}{x^{3}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (x^{4} + 8) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{4} + 8) x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int (x^{4} + 8) x^{- 3} d x$

Paso 2

Multiplica $(x^{4} + 8) x^{- 3}$ .

$\int x^{4} x^{- 3} + 8 x^{- 3} d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{- 3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{4 - 3} + 8 x^{- 3} d x$

Paso 3.1.2

Resta $3$ de $4$ .

$\int x^{1} + 8 x^{- 3} d x$

Paso 3.2

Simplifica $x^{1}$ .

$\int x + 8 x^{- 3} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x d x + \int 8 x^{- 3} d x$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int 8 x^{- 3} d x$

Paso 6

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 \int x^{- 3} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $x^{- 2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Paso 8.1.2

Mueve $x^{- 2}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Paso 8.2

Simplifica.

$\frac{1}{2} x^{2} + 8 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 8 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Paso 8.3.2

Combina $- 8$ y $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 8}{2 x^{2}} + C$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

Paso 8.3.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{2})} + C$

Paso 8.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{2}} + C$

Paso 8.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{- 4}{x^{2}} + C$

Paso 8.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{4}{x^{2}} + C$