Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\cos (x)}{\sin^{6} (x)} d x$

Paso 1

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{6}} d u$

Paso 2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1

Mueve $u^{6}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u$

Paso 2.2.2

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 6}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C$ como $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{5}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C$

Paso 4.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C$

Paso 5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$- \frac{1}{5 \sin^{5} (x)} + C$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica por $1$ .

$- \frac{1}{5 (\sin^{5} (x) \cdot 1)} + C$

Paso 6.2

Separa las fracciones.

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\sin^{5} (x)}) + C$

Paso 6.3

Convierte de $\frac{1}{\sin^{5} (x)}$ a $\csc^{5} (x)$ .

$- (\frac{1}{5 \cdot (1)} \csc^{5} (x)) + C$

Paso 6.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$- (\frac{1}{5} \csc^{5} (x)) + C$

Paso 6.5

Combina $\frac{1}{5}$ y $\csc^{5} (x)$ .

$- \frac{\csc^{5} (x)}{5} + C$

Paso 6.6

Reordena los términos.

$- \frac{1}{5} \csc^{5} (x) + C$