Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1 + \ln (x)}{x} d x$

Paso 1

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int \frac{1}{x} + \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Paso 4

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int u d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 6

Simplifica.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$