Cálculo Ejemplos

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{\sqrt[3]{t}} d t$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{t}$ como $t^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{27 t^{3} - 1}{t^{\frac{1}{3}}} d t$

Paso 2

Mueve $t^{\frac{1}{3}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) {(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d t$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(t^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d t$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$\int (27 t^{3} - 1) t^{\frac{- 1}{3}} d t$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int (27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 4

Expande $(27 t^{3} - 1) t^{- \frac{1}{3}}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 27 t^{3} t^{- \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 27 t^{3 - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 4.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 4.4

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int 27 t^{\frac{3 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 4.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int 27 t^{\frac{9 - 1}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 4.6.2

Resta $1$ de $9$ .

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 27 t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 6

Dado que $27$ es constante con respecto a $t$ , mueve $27$ fuera de la integral.

$27 \int t^{\frac{8}{3}} d t + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{\frac{8}{3}}$ con respecto a $t$ es $\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) + \int - 1 t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - \int t^{- \frac{1}{3}} d t$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- \frac{1}{3}}$ con respecto a $t$ es $\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}}$ .

$27 (\frac{3}{11} t^{\frac{11}{3}} + C) - (\frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Simplifica.

$27 (\frac{3}{11}) t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Combina $27$ y $\frac{3}{11}$ .

$\frac{27 \cdot 3}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$

Paso 10.2.2

Multiplica $27$ por $3$ .

$\frac{81}{11} t^{\frac{11}{3}} - \frac{3}{2} t^{\frac{2}{3}} + C$