Cálculo Ejemplos

$\int \frac{3 x^{2} - 10}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 1

Divide $3 x^{2} - 10$ por $x^{2} - 4 x + 4$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{2}$

$4 x$

$4$

$3 x^{2}$

$0 x$

$10$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{2}$ .

							$3$
	$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					+	$3 x^{2}$	-	$12 x$	+	$12$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

						$3$
$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$		$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$10$
					-	$3 x^{2}$	+	$12 x$	-	$12$
							+	$12 x$	-	$22$

Paso 1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 3 + \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 3 d x + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$3 x + C + \int \frac{12 x - 22}{x^{2} - 4 x + 4} d x$

Paso 4

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 4.1.1.1

Factoriza $2$ de $12 x - 22$ .

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Paso 4.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $12 x$ .

$\frac{2 (6 x) - 22}{x^{2} - 4 x + 4}$

Paso 4.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 22$ .

$\frac{2 (6 x) + 2 (- 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Paso 4.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (6 x) + 2 (- 11)$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Paso 4.1.1.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1.1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 4 x + 2^{2}}$

Paso 4.1.1.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 4.1.1.2.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{2 (6 x - 11)}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}}$

Paso 4.1.1.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{2 (6 x - 11)}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}}$

Paso 4.1.3

$\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$

Paso 4.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es ${(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 4.1.5

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 4.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (6 x - 11) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 4.1.5.2

Divide $2 (6 x - 11)$ por $1$ .

$2 (6 x - 11) = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 4.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (6 x) + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 4.1.7

Multiplica.

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Paso 4.1.7.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$12 x + 2 \cdot - 11 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 4.1.7.2

Multiplica $2$ por $- 11$ .

$12 x - 22 = \frac{(A) {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 4.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.8.1

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ .

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Paso 4.1.8.1.1

Cancela el factor común.

$12 x - 22 = \frac{A {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 4.1.8.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(B) {(x - 2)}^{2}}{x - 2}$

Paso 4.1.8.2

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ y $x - 2$ .

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Paso 4.1.8.2.1

Factoriza $x - 2$ de $(B) {(x - 2)}^{2}$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{x - 2}$

Paso 4.1.8.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.1.8.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Paso 4.1.8.2.2.2

Cancela el factor común.

$12 x - 22 = A + \frac{(x - 2) (B (x - 2))}{(x - 2) \cdot 1}$

Paso 4.1.8.2.2.3

Reescribe la expresión.

$12 x - 22 = A + \frac{B (x - 2)}{1}$

Paso 4.1.8.2.2.4

Divide $B (x - 2)$ por $1$ .

$12 x - 22 = A + B (x - 2)$

Paso 4.1.8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$12 x - 22 = A + B x + B \cdot - 2$

Paso 4.1.8.4

Mueve $- 2$ a la izquierda de $B$ .

$12 x - 22 = A + B x - 2 B$

Paso 4.1.9

Reordena $A$ y $B x$ .

$12 x - 22 = B x + A - 2 B$

Paso 4.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$12 = B$

Paso 4.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 22 = A - 2 B$

Paso 4.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

$12 = B$

$- 22 = A - 2 B$

Paso 4.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $B = 12$ .

$B = 12$

$- 22 = A - 2 B$

Paso 4.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $12$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $- 22 = A - 2 B$ por $12$ .

$- 22 = A - 2 \cdot 12$

$B = 12$

Paso 4.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

$- 22 = A - 24$

$B = 12$

Paso 4.3.3

Resuelve $A$ en $- 22 = A - 24$ .

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Paso 4.3.3.1

Reescribe la ecuación como $A - 24 = - 22$ .

$A - 24 = - 22$

$B = 12$

Paso 4.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $A$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.3.2.1

Suma $24$ a ambos lados de la ecuación.

$A = - 22 + 24$

$B = 12$

Paso 4.3.3.2.2

Suma $- 22$ y $24$ .

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

$A = 2$

$B = 12$

Paso 4.3.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$A = 2 B = 12$

Paso 4.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 2, B = 12$

Paso 4.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{B}{x - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2}$

Paso 4.5

Elimina el cero de la expresión.

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + \frac{12}{x - 2} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$3 x + C + \int \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Paso 6

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} d x + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Paso 7

Sea $u_{1} = x - 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{1} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 7.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$3 x + C + 2 \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Paso 8

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$3 x + C + 2 \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Paso 8.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Paso 8.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 x + C + 2 \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{12}{x - 2} d x$

Paso 10

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 11

Sea $u_{2} = x - 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 11.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 11.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 12

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$3 x + C + 2 (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 12 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 13

Simplifica.

$3 x - \frac{2}{u_{1}} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - 2$ .

$3 x - \frac{2}{x - 2} + 12 \ln (| x - 2 |) + C$