Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} d x$

Paso 1

Convierte de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Paso 2

La integral de $\cot (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Evalúa $\ln (| \sin (x) |)$ en $\frac{π}{2}$ y en $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |)$

Paso 3.2.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |)$

Paso 3.2.3

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Paso 3.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ es aproximadamente $0.70710678$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Paso 3.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Paso 3.3.4

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $1$ .

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Forma decimal:

$0.34657359 \dots$