Cálculo Ejemplos

$\int \sec^{4} (5 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = 5 x$ . Entonces $d u_{1} = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = 5 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sec^{4} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Paso 2

Combina $\sec^{4} (u_{1})$ y $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sec^{4} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} \int \sec^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$\frac{1}{5} \int {\sec (u_{1})}^{2 + 2} d u_{1}$

Paso 4.2

Reescribe ${\sec (u_{1})}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int \sec^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 5

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (u_{1})$ como $1 + \tan^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} \int (1 + \tan^{2} (u_{1})) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \int 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Paso 7

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{5} (\int d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{5} (u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{5} (u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} (\tan (u_{1}) + \frac{1}{3} \tan^{3} (u_{1})) + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (5 x)) + C$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\tan^{3} (5 x)$ .

$\frac{1}{5} (\tan (5 x) + \frac{\tan^{3} (5 x)}{3}) + C$

Paso 12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Paso 12.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{\tan^{3} (5 x)}{3} + C$

Paso 12.4

Combinar.

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{1 \tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Paso 12.5

Simplifica cada término.

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Paso 12.5.1

Multiplica $\tan^{3} (5 x)$ por $1$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{5 \cdot 3} + C$

Paso 12.5.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{\tan (5 x)}{5} + \frac{\tan^{3} (5 x)}{15} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{5} \tan (5 x) + \frac{1}{15} \tan^{3} (5 x) + C$