Cálculo Ejemplos

$\int \tan^{5} (x) \sec^{7} (x) d x$

Paso 1

Factoriza $\tan^{4} (x)$ .

$\int \tan^{4} (x) \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Paso 2

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int {\tan (x)}^{2 (2)} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Paso 2.2

Reescribe ${\tan (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

$\int {(\tan^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Paso 3

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \sec^{2} (x))}^{2} \tan (x) \sec^{7} (x) d x$

Paso 4

Sea $u = \sec (x)$ . Entonces $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = \sec (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

$\sec (x) \tan (x)$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

$\int {(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6} d u$

Paso 5

Expande ${(- 1 + u^{2})}^{2} u^{6}$ .

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Paso 5.1

Reescribe ${(- 1 + u^{2})}^{2}$ como $(- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2})$ .

$\int (- 1 + u^{2}) (- 1 + u^{2}) u^{6} d u$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (- 1 (- 1 + u^{2}) + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Paso 5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} (- 1 + u^{2})) u^{6} d u$

Paso 5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2} + u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\int (- 1 \cdot - 1 - 1 u^{2}) u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Paso 5.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + (u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2}) u^{6} d u$

Paso 5.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} \cdot - 1 u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Paso 5.8

Reordena $u^{2}$ y $- 1$ .

$\int - 1 \cdot - 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 \cdot u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Paso 5.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Paso 5.10

Multiplica $u^{6}$ por $1$ .

$\int u^{6} - 1 u^{2} u^{6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Paso 5.11

Factoriza el negativo.

$\int u^{6} - (u^{2} u^{6}) - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Paso 5.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{6} - u^{2 + 6} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Paso 5.13

Suma $2$ y $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - 1 u^{2} u^{6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Paso 5.14

Factoriza el negativo.

$\int u^{6} - u^{8} - (u^{2} u^{6}) + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Paso 5.15

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{2 + 6} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Paso 5.16

Suma $2$ y $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2} u^{2} u^{6} d u$

Paso 5.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{2 + 2} u^{6} d u$

Paso 5.18

Suma $2$ y $2$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4} u^{6} d u$

Paso 5.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{4 + 6} d u$

Paso 5.20

Suma $4$ y $6$ .

$\int u^{6} - u^{8} - u^{8} + u^{10} d u$

Paso 5.21

Resta $u^{8}$ de $- u^{8}$ .

$\int u^{6} - 2 u^{8} + u^{10} d u$

Paso 5.22

Reordena $- 2 u^{8}$ y $u^{10}$ .

$\int u^{6} + u^{10} - 2 u^{8} d u$

Paso 5.23

Mueve $u^{6}$ .

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

$\int u^{10} - 2 u^{8} + u^{6} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{10} d u + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{10}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C + \int - 2 u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Paso 8

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 \int u^{8} d u + \int u^{6} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{8}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int u^{6} d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{6}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{9}$ y $u^{9}$ .

$\frac{1}{11} u^{11} + C - 2 (\frac{u^{9}}{9} + C) + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

$\frac{u^{11}}{11} - \frac{2 u^{9}}{9} + \frac{1}{7} u^{7} + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (x)$ .

$\frac{\sec^{11} (x)}{11} - \frac{2 \sec^{9} (x)}{9} + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{11} \sec^{11} (x) - \frac{2}{9} \sec^{9} (x) + \frac{1}{7} \sec^{7} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$