Cálculo Ejemplos

$\int \frac{t}{t + 1} d t$

Paso 1

Divide $t$ por $t + 1$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$t$

$1$

$t$

$0$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $t$ por el término de mayor orden en el divisor $t$ .

					$1$
	$t$	+	$1$		$t$	+	$0$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$1$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $t + 1$ .

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$1$
$t$	+	$1$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$1$
					-	$1$

Paso 1.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 1 - \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d t + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$t + C + \int - \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$t + C - \int \frac{1}{t + 1} d t$

Paso 5

Sea $u = t + 1$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = t + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $t + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 1$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

Paso 5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$t + C - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$t + C - (\ln (| u |) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$t - \ln (| u |) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 1$ .

$t - \ln (| t + 1 |) + C$