Cálculo Ejemplos

$\int \cot^{3} (2 x) d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \cot^{3} (u) \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Combina $\cot^{3} (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\cot^{3} (u)}{2} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \cot^{3} (u) d u$

Paso 4

Aplica la fórmula de reducción.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - \int \cot (u) d u)$

Paso 5

La integral de $\cot (u)$ con respecto a $u$ es $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$

Paso 6

Reescribe $\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (u)}{2} - (\ln (| \sin (u) |) + C))$ como $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (u) - \ln (| \sin (u) |)) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cot^{2} (2 x) - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina $\cot^{2} (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2} - \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cot^{2} (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Paso 8.3

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1

Reescribe $\cot (2 x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{1}{2} (- \frac{{(\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)})}^{2}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Paso 8.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (| \sin (2 x) |)) + C$

Paso 8.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| \sin (2 x) |)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}}{2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.5

Simplifica cada término.

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Paso 8.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} (- (\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)} \cdot \frac{1}{2})) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.5.2

Combinar.

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.5.3

Multiplica $\cos^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x) \cdot 2}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.5.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \cdot \sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.5.5

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)})$ .

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Paso 8.5.5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\cos^{2} (2 x)}{2 \sin^{2} (2 x)}$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{2 (2 \sin^{2} (2 x))} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.5.5.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x)}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.6

Simplifica cada término.

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Paso 8.6.1

Multiplica por $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 \sin^{2} (2 x)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.6.2

Multiplica por $1$ .

$- \frac{\cos^{2} (2 x) \cdot 1}{4 (\sin^{2} (2 x) \cdot 1)} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.6.3

Separa las fracciones.

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cdot \frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.6.4

Convierte de $\frac{\cos^{2} (2 x)}{\sin^{2} (2 x)}$ a $\cot^{2} (2 x)$ .

$- (\frac{1}{4 \cdot (1)} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.6.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$- (\frac{1}{4} \cot^{2} (2 x)) - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 8.6.6

Combina $\frac{1}{4}$ y $\cot^{2} (2 x)$ .

$- \frac{\cot^{2} (2 x)}{4} - \frac{\ln (| \sin (2 x) |)}{2} + C$

Paso 9

Reordena los términos.

$- \frac{1}{4} \cot^{2} (2 x) - \frac{1}{2} \ln (| \sin (2 x) |) + C$