Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x$

Paso 1

Sea $u = \ln (x)$ . Entonces $d u = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \ln (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \ln (u) d u$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , donde $w = \ln (u)$ y $dv = 1$ .

$\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Combina $u$ y $\frac{1}{u}$ .

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $u$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (u) u - \int d u$

Paso 4

Aplica la regla de la constante.

$\ln (u) u - (u + C)$

Paso 5

Simplifica.

$\ln (u) u - u + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\ln (x)$ .

$\ln (\ln (x)) \ln (x) - \ln (x) + C$