Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} x \sin (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} - \cos (x) d x$

Paso 2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} - - \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + 1 \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Paso 3.2

Multiplica $\int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$ por $1$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \int_{\frac{π}{2}}^{2 π} \cos (x) d x$

Paso 4

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π} + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $x (- \cos (x))]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ y $\sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x)]_{\frac{π}{2}}^{2 π}$

Paso 5.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.2.1

Evalúa $x (- \cos (x)) + \sin (x)$ en $2 π$ y en $\frac{π}{2}$ .

$(2 π (- \cos (2 π)) + \sin (2 π)) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 5.2.2

Simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (\frac{π}{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 5.2.2.2

Combina $\frac{π}{2}$ y $\cos (\frac{π}{2})$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cos (\frac{π}{2})}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + \sin (\frac{π}{2}))$

Paso 5.3.2

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{π \cdot 0}{2} + 1)$

Paso 5.3.3

Multiplica $π$ por $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{2} + 1)$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 (0)}{2} + 1)$

Paso 5.3.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 1)$

Paso 5.3.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- \frac{0}{1} + 1)$

Paso 5.3.4.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (- 0 + 1)$

Paso 5.3.5

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - (0 + 1)$

Paso 5.3.6

Suma $0$ y $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1 \cdot 1$

Paso 5.3.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 2 π \cos (2 π) + \sin (2 π) - 1$

Paso 5.4

Simplifica.

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Paso 5.4.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 2 π \cos (0) + \sin (2 π) - 1$

Paso 5.4.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$- 2 π \cdot 1 + \sin (2 π) - 1$

Paso 5.4.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2 π + \sin (2 π) - 1$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$- 2 π + \sin (0) - 1$

Paso 6.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$- 2 π + 0 - 1$

Paso 6.2

Suma $- 2 π$ y $0$ .

$- 2 π - 1$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- 2 π - 1$

Forma decimal:

$- 7.28318530 \dots$