Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{3}}^{2 π} 3 \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int_{\frac{π}{3}}^{2 π} \cos^{2} (x) \sin (x) d x$

Paso 2

Sea $u = \cos (x)$ . Entonces $d u = - \sin (x) d x$ , de modo que $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = \cos (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{3})$

Paso 2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 π)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$u_{upper} = \cos (0)$

Paso 2.5.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = 1$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$3 \int_{\frac{1}{2}}^{1} - u^{2} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (- \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u)$

Paso 4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \int_{\frac{1}{2}}^{1} u^{2} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Paso 6

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$- 3 (\frac{u^{3}}{3}]_{\frac{1}{2}}^{1})$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{u^{3}}{3}$ en $1$ y en $\frac{1}{2}$ .

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3})$

Paso 7.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{3}}{3})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 3 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{3}}{3}$

Paso 8.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{1^{3}}{2^{3}}}{3}$

Paso 8.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 3 \frac{1 - \frac{1}{2^{3}}}{3}$

Paso 8.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{1}{8}}{3}$

Paso 8.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- 3 \frac{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}{3}$

Paso 8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 3 \frac{\frac{8 - 1}{8}}{3}$

Paso 8.5

Resta $1$ de $8$ .

$- 3 \frac{\frac{7}{8}}{3}$

Paso 8.6

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.6.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{\frac{7}{8}}{3}$

Paso 8.6.2

Cancela el factor común.

$3 \cdot - 1 \frac{\frac{7}{8}}{3}$

Paso 8.6.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{7}{8}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{7}{8}$

Forma decimal:

$- 0.875$