Cálculo Ejemplos

$\int e^{- 3 x} \sec (e^{- 3 x}) \tan (e^{- 3 x}) d x$

Paso 1

Sea $u_{1} = - 3 x$ . Entonces $d u_{1} = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{1} = - 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 1.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) \frac{1}{- 3} d u_{1}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int e^{u_{1}} \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{1}{3}) d u_{1}$

Paso 2.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\int \sec (e^{u_{1}}) \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Paso 2.3

Combina $\sec (e^{u_{1}})$ y $\frac{e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int \tan (e^{u_{1}}) (- \frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}) d u_{1}$

Paso 2.4

Combina $\tan (e^{u_{1}})$ y $\frac{\sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3}$ .

$\int - \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{\tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3} \int \tan (e^{u_{1}}) \sec (e^{u_{1}}) e^{u_{1}} d u_{1})$

Paso 5

Sea $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Entonces $d u_{2} = e^{u_{1}} d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{e^{u_{1}}} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{2} = e^{u_{1}}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $e^{u_{1}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}]$

Paso 5.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{3} \int \tan (u_{2}) \sec (u_{2}) d u_{2}$

Paso 6

Como la derivada de $\sec (u_{2})$ es $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ , la integral de $\tan (u_{2}) \sec (u_{2})$ es $\sec (u_{2})$ .

$- \frac{1}{3} (\sec (u_{2}) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$- \frac{1}{3} \sec (u_{2}) + C$

Paso 8

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 8.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $e^{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{u_{1}}) + C$

Paso 8.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 3 x$ .

$- \frac{1}{3} \sec (e^{- 3 x}) + C$