Cálculo Ejemplos

$\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$

Paso 1

Reordena $e^{- 3 x}$ y $\sin (5 x)$ .

$\int \sin (5 x) e^{- 3 x} d x$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \sin (5 x)$ y $d v = e^{- 3 x}$ .

$\sin (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (5 \cos (5 x)) d x$

Paso 3

Dado que $- \frac{1}{3} \cdot 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{3} \cdot 5$ fuera de la integral.

$\sin (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Paso 4

Combina fracciones.

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Paso 4.1

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$\sin (5 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Paso 4.2

Combina $\sin (5 x)$ y $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot 5 \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Paso 4.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- 5 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Paso 4.4

Combina $- 5$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} \int e^{- 3 x} (\cos (5 x)) d x)$

Paso 4.5

Reordena $e^{- 3 x}$ y $\cos (5 x)$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} \int \cos (5 x) e^{- 3 x} d x)$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \cos (5 x)$ y $d v = e^{- 3 x}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} (- 5 \sin (5 x)) d x))$

Paso 6

Dado que $- \frac{1}{3} \cdot - 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- \frac{1}{3} \cdot - 5$ fuera de la integral.

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Paso 7

Simplifica los términos.

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Paso 7.1

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (\cos (5 x) (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Paso 7.2

Combina $\cos (5 x)$ y $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (- \frac{1}{3} \cdot - 5 \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Paso 7.3

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (5 (\frac{1}{3}) \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Paso 7.4

Combina $5$ y $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)))$

Paso 7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3}) - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Paso 7.6

Multiplica.

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Paso 7.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + 1 (\frac{- 5}{3}) \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Paso 7.6.2

Multiplica $\frac{- 5}{3}$ por $1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5}{3} \cdot \frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Paso 7.7

Multiplica $\frac{- 5}{3}$ por $\frac{\cos (5 x) e^{- 3 x}}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{3 \cdot 3} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Paso 7.8

Multiplica.

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Paso 7.8.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} - \frac{- 5}{3} (- (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x))$

Paso 7.8.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + 1 (\frac{- 5}{3}) (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)$

Paso 7.8.3

Multiplica $\frac{- 5}{3}$ por $1$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 5}{3} (\frac{5}{3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x)$

Paso 7.9

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{- 5}{3}$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{5 \cdot - 5}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

Paso 7.10

Multiplica.

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Paso 7.10.1

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 25}{3 \cdot 3} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

Paso 7.10.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9} + \frac{- 25}{9} \int e^{- 3 x} (\sin (5 x)) d x$

Paso 8

Al resolver $\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$ , obtenemos que $\int e^{- 3 x} \sin (5 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{34}{9}}$ .

$\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} + \frac{- 5 (\cos (5 x) e^{- 3 x})}{9}}{\frac{34}{9}} + C$

Paso 9

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}}{\frac{34}{9}} + C$

Paso 9.1.2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{34}{9}$ .

$(- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{34} + C$

Paso 9.2

Reescribe $(- \frac{\sin (5 x) e^{- 3 x}}{3} - \frac{5 \cos (5 x) e^{- 3 x}}{9}) \frac{9}{34} + C$ como $(- \frac{1}{3} \sin (5 x) e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$ .

$(- \frac{1}{3} \sin (5 x) e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Combina $\sin (5 x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$(- \frac{\sin (5 x)}{3} e^{- 3 x} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Paso 9.3.2

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{\sin (5 x)}{3}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{5}{9} \cos (5 x) e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Paso 9.3.3

Combina $\cos (5 x)$ y $\frac{5}{9}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{9} e^{- 3 x}) \frac{9}{34} + C$

Paso 9.3.4

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{\cos (5 x) \cdot 5}{9}$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{9}) \frac{9}{34} + C$

Paso 9.3.5

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (5 x)$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (5 \cos (5 x))}{9}) \frac{9}{34} + C$

Paso 9.4

Simplifica.

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Paso 9.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.4.1.1

Reescribe.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (\cos (5 x) \cdot 5)}{9}) \frac{9}{34} + C$

Paso 9.4.1.2

Mueve $5$ a la izquierda de $\cos (5 x)$ .

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} (5 \cdot \cos (5 x))}{9}) \frac{9}{34} + C$

Paso 9.4.1.3

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(- \frac{e^{- 3 x} \sin (5 x)}{3} - \frac{e^{- 3 x} \cdot 5 \cos (5 x)}{9}) \frac{9}{34} + C$

Paso 9.4.2

Mueve $5$ a la izquierda de $e^{- 3 x}$ .

$(- \frac{1}{3} e^{- 3 x} \sin (5 x) - \frac{5}{9} e^{- 3 x} \cos (5 x)) \frac{9}{34} + C$