Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (- 8 x) d x$

Paso 1

Dado que $- 8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 8$ fuera de la integral.

$- 8 \int \sqrt[3]{3 - 4 x^{2}} (x) d x$

Paso 2

Sea $u = 3 - 4 x^{2}$ . Entonces $d u = - 8 x d x$ , de modo que $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 3 - 4 x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 2.1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$0 - 8 x$

Paso 2.1.4

Resta $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- 8 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 8} d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 8 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Paso 3.2

Combina $\sqrt[3]{u}$ y $\frac{1}{8}$ .

$- 8 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Paso 4

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- 8 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u)$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$8 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{8} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Simplifica.

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Paso 7.1.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $8$ .

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.2

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 7.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{8}{8} \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.1.3

Multiplica $\int \sqrt[3]{u} d u$ por $1$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Paso 7.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - 4 x^{2}$ .

$\frac{3}{4} {(3 - 4 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$