Cálculo Ejemplos

$\int \sqrt{5 + 4 x - x^{2}} d x$

Paso 1

Completa el cuadrado.

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Paso 1.1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.1

Mueve $5$ .

$4 x - x^{2} + 5$

Paso 1.1.2

Reordena $4 x$ y $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 4 x + 5$

Paso 1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 5$

Paso 1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Paso 1.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Paso 1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 5 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.1.1

Cancela el factor común de $4^{2}$ y $4$ .

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Paso 1.5.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$e = 5 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.2.1.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 5 - (- 1 \cdot 4)$

Paso 1.5.2.1.2

Multiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

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Paso 1.5.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 5 - - 4$

Paso 1.5.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$e = 5 + 4$

Paso 1.5.2.2

Suma $5$ y $4$ .

$e = 9$

Paso 1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x - 2)}^{2} + 9$ .

$\int \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 9} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = x - 2$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 9} d u_{1}$

Paso 3

Sea $u_{1} = 3 \sin (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d u_{1} = 3 \cos (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ es positiva.

$\int \sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4

Simplifica los términos.

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Paso 4.1

Simplifica $\sqrt{- {(3 \sin (t))}^{2} + 9}$ .

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Paso 4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $3 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{- (3^{2} \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\int \sqrt{- (9 \sin^{2} (t)) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{- 9 \sin^{2} (t) + 9} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.2

Reordena $- 9 \sin^{2} (t)$ y $9$ .

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.3

Factoriza $9$ de $9$ .

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.4

Factoriza $9$ de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.5

Factoriza $9$ de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.6

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.7

Reescribe $9 \cos^{2} (t)$ como ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

Paso 4.2.2

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Paso 4.2.3

Eleva $\cos (t)$ a la potencia de $1$ .

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Paso 4.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Paso 4.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Paso 5

Dado que $9$ es constante con respecto a $t$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $9$ .

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{9}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Paso 11

Sea $u_{2} = 2 t$ . Entonces $d u_{2} = 2 d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = 2 t$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Paso 11.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 12

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 14

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 15

Simplifica.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 t$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{u_{1}}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 16.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Paso 16.4

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arcsin (\frac{u_{1}}{3})$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{u_{1}}{3}))) + C$

Paso 16.5

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 2$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))) + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))$ .

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}) + C$

Paso 17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x - 2}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Paso 17.3

Combina $\frac{9}{2}$ y $\arcsin (\frac{x - 2}{3})$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2} + C$

Paso 17.4

Multiplica $\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

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Paso 17.4.1

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2}$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

Paso 17.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{9 \arcsin (\frac{x - 2}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x - 2}{3}))}{4} + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2)) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 2))) + C$