Cálculo Ejemplos

$\int x^{3} \cos (3 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{3}$ y $d v = \cos (3 x)$ .

$x^{3} (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (3 x^{2}) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sin (3 x)$ .

$x^{3} \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (3 x^{2}) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{3}$ y $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) (3 x^{2}) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3} \cdot 3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3} \cdot 3$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 3 \int \sin (3 x) (x^{2}) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (\frac{3}{3} \int \sin (3 x) (x^{2}) d x)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (\frac{3}{3} \int \sin (3 x) (x^{2}) d x)$

Paso 4.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (1 \int \sin (3 x) (x^{2}) d x)$

Paso 4.3

Multiplica $\int \sin (3 x) (x^{2}) d x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - \int \sin (3 x) (x^{2}) d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \sin (3 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (x^{2} (- \frac{1}{3} \cos (3 x)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\cos (3 x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (x^{2} (- \frac{\cos (3 x)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x)$

Paso 6.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 x) (2 x) d x)$

Paso 6.3

Combina $\cos (3 x)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{\cos (3 x)}{3} (2 x) d x)$

Paso 6.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - 2 \frac{\cos (3 x)}{3} x d x)$

Paso 6.5

Combina $- 2$ y $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int \frac{- 2 \cos (3 x)}{3} x d x)$

Paso 6.6

Combina $\frac{- 2 \cos (3 x)}{3}$ y $x$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int \frac{- 2 \cos (3 x) x}{3} d x)$

Paso 6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - \int - \frac{2 \cos (3 x) x}{3} d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} - - \int \frac{2 \cos (3 x) x}{3} d x)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + 1 \int \frac{2 \cos (3 x) x}{3} d x)$

Paso 8.2

Multiplica $\int \frac{2 \cos (3 x) x}{3} d x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \int \frac{2 \cos (3 x) x}{3} d x)$

Paso 9

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} \int \cos (3 x) x d x)$

Paso 10

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (3 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sin (3 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x))$

Paso 11.2

Combina $x$ y $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x))$

Paso 11.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sin (3 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x))$

Paso 12

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)))$

Paso 13

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 13.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 13.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 13.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 13.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 13.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 13.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u))$

Paso 14

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u))$

Paso 15

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)))$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u))$

Paso 16.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u))$

Paso 17

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)))$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Reescribe $\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2}{3} (\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)))$ como $\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27}) + C$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27}) + C$

Paso 18.2

Simplifica.

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Paso 18.2.1

Para escribir $- (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 18.2.2

Combina $- (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x)}{3} + \frac{- (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 18.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 18.2.4

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (u)}{27})}{3} + C$

Paso 19

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3} + \frac{2 x \sin (3 x)}{9} + \frac{2 \cos (3 x)}{27})}{3} + C$

Paso 20

Simplifica.

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Paso 20.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - 3 (- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3}) - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2

Simplifica.

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Paso 20.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 20.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2} \cos (3 x)}{3}$ al numerador.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - 3 \frac{- x^{2} \cos (3 x)}{3} - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + 3 (- 1) \frac{- x^{2} \cos (3 x)}{3} - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + 3 \cdot - 1 \frac{- x^{2} \cos (3 x)}{3} - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - (- x^{2} \cos (3 x)) - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + 1 (x^{2} \cos (3 x)) - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - 3 \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 20.2.4.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) + 3 (- 1) \frac{2 x \sin (3 x)}{9} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2.4.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) + 3 \cdot - 1 \frac{2 x \sin (3 x)}{3 \cdot 3} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) + 3 \cdot - 1 \frac{2 x \sin (3 x)}{3 \cdot 3} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} - 3 \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 20.2.5.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + 3 (- 1) \frac{2 \cos (3 x)}{27}}{3} + C$

Paso 20.2.5.2

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{2 \cos (3 x)}{3 \cdot 9}}{3} + C$

Paso 20.2.5.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + 3 \cdot - 1 \frac{2 \cos (3 x)}{3 \cdot 9}}{3} + C$

Paso 20.2.5.4

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + x^{2} \cos (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} - \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 20.3

Para escribir $x^{2} \cos (3 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + x^{2} \cos (3 x) \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 20.4

Combina $x^{2} \cos (3 x)$ y $\frac{9}{9}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{x^{2} \cos (3 x) \cdot 9}{9} - \frac{2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 20.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 20.6

Simplifica el numerador.

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Paso 20.6.1

Factoriza $\cos (3 x)$ de $x^{2} \cos (3 x) \cdot 9 - 2 \cos (3 x)$ .

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Paso 20.6.1.1

Factoriza $\cos (3 x)$ de $x^{2} \cos (3 x) \cdot 9$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x) (x^{2} \cdot 9) - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 20.6.1.2

Factoriza $\cos (3 x)$ de $- 2 \cos (3 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x) (x^{2} \cdot 9) + \cos (3 x) \cdot - 2}{9}}{3} + C$

Paso 20.6.1.3

Factoriza $\cos (3 x)$ de $\cos (3 x) (x^{2} \cdot 9) + \cos (3 x) \cdot - 2$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x) (x^{2} \cdot 9 - 2)}{9}}{3} + C$

Paso 20.6.2

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

Paso 20.7

Para escribir $- \frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x)}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

Paso 20.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $9$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 20.8.1

Multiplica $\frac{2 x \sin (3 x)}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{\cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

Paso 20.8.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{2 x \sin (3 x) \cdot 3}{9} + \frac{\cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

Paso 20.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 2 x \sin (3 x) \cdot 3 + \cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

Paso 20.10

Simplifica el numerador.

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Paso 20.10.1

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 6 x \sin (3 x) + \cos (3 x) (9 x^{2} - 2)}{9}}{3} + C$

Paso 20.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 6 x \sin (3 x) + \cos (3 x) (9 x^{2}) + \cos (3 x) \cdot - 2}{9}}{3} + C$

Paso 20.10.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 6 x \sin (3 x) + 9 \cos (3 x) x^{2} + \cos (3 x) \cdot - 2}{9}}{3} + C$

Paso 20.10.4

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\cos (3 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 6 x \sin (3 x) + 9 \cos (3 x) x^{2} - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 20.11

Factoriza $- 1$ de $- 6 x \sin (3 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- (6 x \sin (3 x)) + 9 \cos (3 x) x^{2} - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 20.12

Factoriza $- 1$ de $9 \cos (3 x) x^{2}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- (6 x \sin (3 x)) - (- 9 \cos (3 x) x^{2}) - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 20.13

Factoriza $- 1$ de $- (6 x \sin (3 x)) - (- 9 \cos (3 x) x^{2})$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2}) - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 20.14

Factoriza $- 1$ de $- 2 \cos (3 x)$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2}) - (2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

Paso 20.15

Factoriza $- 1$ de $- (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2}) - (2 \cos (3 x))$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

Paso 20.16

Reescribe $- (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x))$ como $- 1 (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x))$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) + \frac{- 1 (6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

Paso 20.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 20.18

Reordena los factores en $- \frac{6 x \sin (3 x) - 9 \cos (3 x) x^{2} + 2 \cos (3 x)}{9}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) - \frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 21

Simplifica.

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Paso 21.1

Simplifica el numerador.

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Paso 21.1.1

Para escribir $x^{3} \sin (3 x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{x^{3} \sin (3 x) \cdot \frac{9}{9} - \frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 21.1.2

Combina $x^{3} \sin (3 x)$ y $\frac{9}{9}$ .

$\frac{\frac{x^{3} \sin (3 x) \cdot 9}{9} - \frac{6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 21.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x^{3} \sin (3 x) \cdot 9 - (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

Paso 21.1.4

Reescribe $\frac{x^{3} \sin (3 x) \cdot 9 - (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x))}{9}$ en forma factorizada.

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Paso 21.1.4.1

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{3} \sin (3 x)$ .

$\frac{\frac{9 \cdot (x^{3} \sin (3 x)) - (6 x \sin (3 x) - 9 x^{2} \cos (3 x) + 2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

Paso 21.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - (6 x \sin (3 x)) - (- 9 x^{2} \cos (3 x)) - (2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

Paso 21.1.4.3

Simplifica.

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Paso 21.1.4.3.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 (x \sin (3 x)) - (- 9 x^{2} \cos (3 x)) - (2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

Paso 21.1.4.3.2

Multiplica $- 9$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 (x \sin (3 x)) + 9 (x^{2} \cos (3 x)) - (2 \cos (3 x))}{9}}{3} + C$

Paso 21.1.4.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 (x \sin (3 x)) + 9 (x^{2} \cos (3 x)) - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 21.1.4.4

Simplifica cada término.

$\frac{\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{9}}{3} + C$

Paso 21.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3} + C$

Paso 21.3

Multiplica $\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{9} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 21.3.1

Multiplica $\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{9}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{9 \cdot 3} + C$

Paso 21.3.2

Multiplica $9$ por $3$ .

$\frac{9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)}{27} + C$

Paso 21.4

Reordena los términos.

$\frac{1}{27} (9 x^{3} \sin (3 x) - 6 x \sin (3 x) + 9 x^{2} \cos (3 x) - 2 \cos (3 x)) + C$