Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x}{{(7 x^{2} + 3)}^{5}} d x d x$

Paso 1

Sea $u = 7 x^{2} + 3$ . Entonces $d u = 14 x d x$ , de modo que $\frac{1}{14} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 7 x^{2} + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $7 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $7$ .

$14 x + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$14 x + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $14 x$ y $0$ .

$14 x$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{14} d u d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{1}{u^{5}}$ por $\frac{1}{14}$ .

$\int \frac{1}{u^{5} \cdot 14} d u d x$

Paso 2.2

Mueve $14$ a la izquierda de $u^{5}$ .

$\int \frac{1}{14 u^{5}} d u d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{14}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{14}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u d x$

Paso 4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1

Simplifica.

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Paso 4.1.1

Combina $d$ y $\frac{1}{14}$ .

$\frac{d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u x$

Paso 4.1.2

Combina $x$ y $\frac{d}{14}$ .

$\frac{x d}{14} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Paso 4.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.2.1

Mueve $u^{5}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{x d}{14} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Paso 4.2.2

Multiplica los exponentes en ${(u^{5})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\frac{x d}{14} \int u^{- 5} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- 5}$ con respecto a $u$ es $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica.

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Paso 6.1.1

Combina $u^{- 4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{u^{- 4}}{4} + C)$

Paso 6.1.2

Mueve $u^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$

Paso 6.2

Reescribe $\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}} + C)$ como $\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$ .

$\frac{1}{14} x d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Combina $\frac{1}{14}$ y $x$ .

$\frac{x}{14} d (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Paso 6.3.2

Combina $\frac{x}{14}$ y $d$ .

$\frac{x d}{14} (- \frac{1}{4 u^{4}}) + C$

Paso 6.3.3

Multiplica $\frac{x d}{14}$ por $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{x d}{14 (4 u^{4})} + C$

Paso 6.3.4

Multiplica $4$ por $14$ .

$- \frac{x d}{56 u^{4}} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x^{2} + 3$ .

$- \frac{x d}{56 {(7 x^{2} + 3)}^{4}} + C$