Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) \sec^{4} (x) d x$

Paso 1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Paso 1.2

Reescribe ${\sec (x)}^{2 + 2}$ como $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Paso 2

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\sec^{2} (x)$ como $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{5} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Paso 3

Sea $u = \tan (x)$ . Entonces $d u = \sec^{2} (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Deja $u = \tan (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Diferencia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 3.1.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Paso 3.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

Paso 3.3

El valor exacto de $\tan (0)$ es $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 3.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{3})$

Paso 3.5

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Paso 3.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \sqrt{3}$

Paso 3.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} (1 + u^{2}) d u$

Paso 4

Multiplica $u^{5} (1 + u^{2})$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} \cdot 1 + u^{5} u^{2} d u$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica $u^{5}$ por $1$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5} u^{2} d u$

Paso 5.2

Multiplica $u^{5}$ por $u^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{5 + 2} d u$

Paso 5.2.2

Suma $5$ y $2$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} + u^{7} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} u^{5} d u + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{5}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \int_{0}^{\sqrt{3}} u^{7} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{7}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Paso 9

Combina $\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\sqrt{3}}$ y $\frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}]_{0}^{\sqrt{3}}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Evalúa $\frac{1}{6} u^{6} + \frac{1}{8} u^{8}$ en $\sqrt{3}$ y en $0$ .

$(\frac{1}{6} {\sqrt{3}}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8}) - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{6}$ como $3^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} {(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{6}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.1.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6} \cdot 3^{\frac{3}{1}} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.1.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 3^{3} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot 27 + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.3

Combina $\frac{1}{6}$ y $27$ .

$\frac{27}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.4

Cancela el factor común de $27$ y $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.4.1

Factoriza $3$ de $27$ .

$\frac{3 (9)}{6} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.4.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {\sqrt{3}}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{8}$ como $3^{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} {(3^{\frac{1}{2}})}^{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{8}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.5.4

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.5.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.5.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.5.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{\frac{4}{1}} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.5.4.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 3^{4} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.6

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{9}{2} + \frac{1}{8} \cdot 81 - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.7

Combina $\frac{1}{8}$ y $81$ .

$\frac{9}{2} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.8

Para escribir $\frac{9}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.9.1

Multiplica $\frac{9}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{9 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.9.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{9 \cdot 4}{8} + \frac{81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 \cdot 4 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.11.1

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{36 + 81}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.11.2

Suma $36$ y $81$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0^{6} + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.12

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{117}{8} - (\frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.13

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0^{8})$

Paso 10.2.14

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + \frac{1}{8} \cdot 0)$

Paso 10.2.15

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $0$ .

$\frac{117}{8} - (0 + 0)$

Paso 10.2.16

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{117}{8} - 0$

Paso 10.2.17

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{117}{8} + 0$

Paso 10.2.18

Suma $\frac{117}{8}$ y $0$ .

$\frac{117}{8}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{117}{8}$

Forma decimal:

$14.625$

Forma de número mixto:

$14 \frac{5}{8}$