Cálculo Ejemplos

$\int 3 \cos^{2} (5 x) d x$

Paso 1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \cos^{2} (5 x) d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 5 x$ . Entonces $d u_{1} = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 5 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 2.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$3 \int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1}$

Paso 3

Combina $\cos^{2} (u_{1})$ y $\frac{1}{5}$ .

$3 \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$3 (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 5

Combina $\frac{1}{5}$ y $3$ .

$\frac{3}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 6

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{3}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 8.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{3}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{3}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 11

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 11.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 12

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Paso 14

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$\frac{3}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 15

Simplifica.

$\frac{3}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 16

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 16.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 16.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Paso 16.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (5 x))) + C$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Simplifica cada término.

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Paso 17.1.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{1}{2} \sin (10 x)) + C$

Paso 17.1.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sin (10 x)$ .

$\frac{3}{10} (5 x + \frac{\sin (10 x)}{2}) + C$

Paso 17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3}{10} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Paso 17.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 17.3.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{3}{5 (2)} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Paso 17.3.2

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{3}{5 (2)} (5 (x)) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Paso 17.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{3}{5 \cdot 2} (5 x) + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Paso 17.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Paso 17.4

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2} + C$

Paso 17.5

Multiplica $\frac{3}{10} \cdot \frac{\sin (10 x)}{2}$ .

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Paso 17.5.1

Multiplica $\frac{3}{10}$ por $\frac{\sin (10 x)}{2}$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{10 \cdot 2} + C$

Paso 17.5.2

Multiplica $10$ por $2$ .

$\frac{3 x}{2} + \frac{3 \sin (10 x)}{20} + C$

Paso 18

Reordena los términos.

$\frac{3}{2} x + \frac{3}{20} \sin (10 x) + C$