Cálculo Ejemplos

$\int_{3}^{9} \frac{1}{x - 1} d x$

Paso 1

Sea $u = x - 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

Paso 1.3

Resta $1$ de $3$ .

$u_{lower} = 2$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 9 - 1$

Paso 1.5

Resta $1$ de $9$ .

$u_{upper} = 8$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 8$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{2}^{8} \frac{1}{u} d u$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{8}$

Paso 3

Evalúa $\ln (| u |)$ en $8$ y en $2$ .

$\ln (| 8 |) - \ln (| 2 |)$

Paso 4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 8 |}{| 2 |})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $8$ es $8$ .

$\ln (\frac{8}{| 2 |})$

Paso 5.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\ln (\frac{8}{2})$

Paso 5.3

Divide $8$ por $2$ .

$\ln (4)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\ln (4)$

Forma decimal:

$1.38629436 \dots$

Paso 7